Probabilidad en el baloncesto: Teorema de la Probabilidad Total y Bayes

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos asociados a los jugadores que anotan: - $J_{23}$: La canasta la anota el jugador número 23. - $J_{6}$: La canasta la anota el jugador número 6. - $J_{O}$: La canasta la anotan otros jugadores. Y el suceso relativo al tipo de canasta: - $T$: La canasta es un triple. - $\bar{T}$: La canasta no es un triple. Calculamos la probabilidad de los "otros jugadores" sabiendo que el total debe sumar el $100\%$: $$P(J_O) = 1 - (P(J_{23}) + P(J_6)) = 1 - (0.45 + 0.15) = 0.40$$ Organizamos la información en un **diagrama de árbol**: 💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, la suma de las probabilidades que salen de un mismo nodo debe ser siempre 1.

**(i) una de las jugadas del equipo haya acabado en un triple.** Para calcular la probabilidad total de que una canasta sea un triple, sumamos las probabilidades de que cada jugador anote un triple. Usamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(T) = P(J_{23}) \cdot P(T|J_{23}) + P(J_6) \cdot P(T|J_6) + P(J_O) \cdot P(T|J_O)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(T) = (0.45 \cdot 0.65) + (0.15 \cdot 0.25) + (0.40 \cdot 0.10)$$ $$P(T) = 0.2925 + 0.0375 + 0.04$$ $$P(T) = 0.37$$ La probabilidad de que una de las jugadas haya acabado en un triple es de **0.37** (o un $37\%$). ✅ **Resultado (i):** $$\boxed{P(T) = 0.37}$$

**(ii) sabiendo que la canasta ha sido un triple, haya sido conseguida por el jugador número 23.** En este apartado, conocemos el resultado (es un triple) y queremos saber la probabilidad de que la causa sea el jugador 23. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(J_{23}|T) = \frac{P(J_{23} \cap T)}{P(T)} = \frac{P(J_{23}) \cdot P(T|J_{23})}{P(T)}$$ Utilizamos el valor de $P(T)$ calculado en el apartado anterior: $$P(J_{23}|T) = \frac{0.45 \cdot 0.65}{0.37}$$ $$P(J_{23}|T) = \frac{0.2925}{0.37} \approx 0.7905$$ La probabilidad de que el triple haya sido del jugador 23 es, aproximadamente, **0.7905** (o un $79.05\%$). 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la probabilidad condicionada, relacionando $P(A|B)$ con $P(B|A)$. ✅ **Resultado (ii):** $$\boxed{P(J_{23}|T) \approx 0.7905}$$