Posición relativa de tres planos según un parámetro

Para estudiar la posición relativa de los tres planos, analizamos el sistema de ecuaciones lineales formado por sus ecuaciones. Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} m & 1 & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 & m \\ 1 & 1 & m & m^2 \end{pmatrix}$$ La posición relativa dependerá de los rangos de estas matrices, aplicando el **Teorema de Rouché-Capelli**. 💡 **Tip:** El rango de $A$ nos indica la independencia de los vectores normales de los planos, mientras que el rango de $A^*$ nos indica si el sistema tiene solución (puntos comunes).

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus para encontrar los valores críticos de $m$: $$|A| = \begin{vmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{vmatrix} = (m \cdot m \cdot m) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot m \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot m) - (m \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = m^3 + 1 + 1 - m - m - m = m^3 - 3m + 2$$ Para hallar las raíces de $m^3 - 3m + 2 = 0$, probamos por Ruffini con los divisores de 2 ($\pm 1, \pm 2$). Probando con $m=1$: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 1 & & 1 & 1 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0 \end{array}$$ Factorizando el polinomio resultante $m^2 + m - 2$: $$m = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies m = 1, m = -2$$ Por tanto, las raíces son **$m = 1$** (doble) y **$m = -2$**. $$\boxed{|A| = (m-1)^2(m+2)}$$

Si $m \neq 1$ y $m \neq -2$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = \text{nº de incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Determinado**. Existe una única solución $(x, y, z)$ que representa el punto de corte. ✅ **Resultado (m ≠ 1, -2):** $$\boxed{\text{Los tres planos se cortan en un único punto (Sistema Compatible Determinado)}}$$

Si $m = 1$, sustituimos en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Como todas las filas son iguales: $$\text{rg}(A) = 1, \quad \text{rg}(A^*) = 1$$ Las tres ecuaciones son idénticas ($x + y + z = 1$). ✅ **Resultado (m = 1):** $$\boxed{\text{Los tres planos son coincidentes (una misma superficie)}}$$

Si $m = -2$, las matrices son: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$ Calculamos los rangos: - En $A$, existe un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$. - En $A^*$, calculamos un menor de orden 3 usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 16 - 2 + 1 - (-2 + 4 + 4) = 15 - 6 = 9 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible** (no hay puntos comunes a los tres). Analizamos la relación por parejas: - Los vectores normales $\vec{n_1}=(-2, 1, 1)$, $\vec{n_2}=(1, -2, 1)$ y $\vec{n_3}=(1, 1, -2)$ no son proporcionales entre sí. Por tanto, no hay planos paralelos. ✅ **Resultado (m = -2):** $$\boxed{\text{Los planos se cortan dos a dos formando tres rectas paralelas (Superficie prismática)}}$$