Ecuación del plano y punto simétrico

Para hallar la ecuación del plano $\pi$, necesitamos un punto del plano y un vector normal (perpendicular) al mismo. El enunciado nos dice que $Q(-3, 2, 5)$ es la proyección ortogonal de $P(1, 0, -1)$ sobre el plano $\pi$. Esto implica dos cosas: 1. El punto $Q$ pertenece al plano $\pi$. 2. El vector que une $P$ con su proyección $Q$, es decir, $\vec{PQ}$, es perpendicular al plano. Calculamos el vector $\vec{PQ}$: $$\vec{PQ} = Q - P = (-3 - 1, 2 - 0, 5 - (-1)) = (-4, 2, 6)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por $2$ para trabajar con números más sencillos: $$\vec{n_\pi} = (-2, 1, 3)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al vector director de la recta que une un punto con su proyección sobre un plano sirve como vector normal del plano. $$\boxed{\vec{n_\pi} = (-2, 1, 3)}$$

La ecuación general de un plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las coordenadas del vector normal. Sustituimos nuestro vector $\vec{n_\pi} = (-2, 1, 3)$: $$-2x + y + 3z + D = 0$$ Como sabemos que el punto $Q(-3, 2, 5)$ pertenece al plano, debe satisfacer su ecuación: $$-2(-3) + (2) + 3(5) + D = 0$$ $$6 + 2 + 15 + D = 0 \implies 23 + D = 0 \implies D = -23$$ La ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{-2x + y + 3z - 23 = 0}$$ (También se puede expresar como $2x - y - 3z + 23 = 0$ multiplicando por $-1$).

A continuación se muestra un esquema de la situación geométrica, donde se aprecia la relación entre el punto $P$, su proyección $Q$ y el punto simétrico $P'$ que calcularemos a continuación.

Sea $P'(x, y, z)$ el punto simétrico de $P$ respecto al plano $\pi$. Por definición de simetría respecto a un plano, la proyección ortogonal $Q$ es el **punto medio** del segmento que une $P$ con $P'$. Utilizamos la fórmula del punto medio: $$Q = \frac{P + P'}{2} \implies (-3, 2, 5) = \left( \frac{1 + x}{2}, \frac{0 + y}{2}, \frac{-1 + z}{2} \right)$$ Igualamos componente a componente: 1. $-3 = \frac{1 + x}{2} \implies -6 = 1 + x \implies x = -7$ 2. $2 = \frac{0 + y}{2} \implies 4 = y \implies y = 4$ 3. $5 = \frac{-1 + z}{2} \implies 10 = -1 + z \implies z = 11$ 💡 **Tip:** El punto simétrico $P'$ siempre se puede hallar como $P' = 2Q - P$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P'(-7, 4, 11)}$$