Inversa y potencias de una matriz mediante identidad

**6.- (2 puntos) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$. Calcular $A^{-1}$ y $A^{20}$, utilizando necesariamente la siguiente identidad $A^3 = -I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden tres.** El enunciado nos obliga a utilizar la identidad $A^3 = -I$ para hallar la inversa. Recordemos que una matriz $A$ es invertible si existe una matriz $B$ tal que $A \cdot B = B \cdot A = I$, en cuyo caso $B = A^{-1}$. Partimos de la identidad facilitada: $$A^3 = -I$$ Podemos expresar $A^3$ como el producto de $A$ por $A^2$: $$A \cdot A^2 = -I$$ Multiplicamos ambos miembros por $-1$ para obtener la matriz identidad positiva en el lado derecho: $$A \cdot (-A^2) = I$$ Por la definición de matriz inversa, se deduce que: $$\boxed{A^{-1} = -A^2}$$ 💡 **Tip:** Si tienes una relación polinómica de una matriz igualada a la identidad (o una constante por la identidad), puedes despejar la inversa sacando factor común la matriz $A$.

Para obtener $A^{-1}$, primero necesitamos calcular $A^2$ realizando el producto $A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento fila por columna: - $c_{11} = 0(0) + 3(1) + 4(-1) = -1$ - $c_{12} = 0(3) + 3(-4) + 4(3) = -12 + 12 = 0$ - $c_{13} = 0(4) + 3(-5) + 4(4) = -15 + 16 = 1$ - $c_{21} = 1(0) - 4(1) - 5(-1) = -4 + 5 = 1$ - $c_{22} = 1(3) - 4(-4) - 5(3) = 3 + 16 - 15 = 4$ - $c_{23} = 1(4) - 4(-5) - 5(4) = 4 + 20 - 20 = 4$ - $c_{31} = -1(0) + 3(1) + 4(-1) = 3 - 4 = -1$ - $c_{32} = -1(3) + 3(-4) + 4(3) = -3 - 12 + 12 = -3$ - $c_{33} = -1(4) + 3(-5) + 4(4) = -4 - 15 + 16 = -3$ $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}}$$

Aplicamos la relación obtenida en el primer paso, $A^{-1} = -A^2$: $$A^{-1} = - \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado para $A^{-1}$:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}}$$

Para calcular potencias elevadas, utilizamos la propiedad $A^3 = -I$. Debemos descomponer el exponente $20$ en función del exponente $3$. Realizamos la división entera de $20$ entre $3$: $$20 = 3 \cdot 6 + 2$$ Utilizando las propiedades de las potencias: $$A^{20} = A^{3 \cdot 6 + 2} = (A^3)^6 \cdot A^2$$ Sustituimos la identidad $A^3 = -I$: $$A^{20} = (-I)^6 \cdot A^2$$ Como cualquier potencia par de $-I$ es igual a la identidad positiva $I$ (ya que $(-1)^6 = 1$ e $I^n = I$): $$A^{20} = I \cdot A^2 = A^2$$ Por lo tanto, $A^{20}$ coincide con la matriz $A^2$ que ya habíamos calculado en el paso anterior. ✅ **Resultado para $A^{20}$:** $$\boxed{A^{20} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Para potencias grandes de matrices, busca siempre un patrón o usa una identidad dada (como en este caso) dividiendo el exponente deseado por el exponente de la identidad conocida.