Invertibilidad y cálculo de la matriz inversa

**Determina para qué valores del parámetro real $a$ la matriz $A$ tiene inversa.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Por tanto, empezamos calculando el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \\ a+1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (a+1)(a+1)(a+1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - [ (a+1) \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot (a+1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (a+1) ]$$ Simplificamos la expresión: $$|A| = 1 + (a+1)^3 + 1 - [ (a+1) + (a+1) + (a+1) ]$$ $$|A| = 2 + (a+1)^3 - 3(a+1)$$ Expandimos el cubo $(a+1)^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1$: $$|A| = 2 + (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) - 3a - 3$$ $$|A| = a^3 + 3a^2 + 3a + 3 - 3a - 3$$ $$\boxed{|A| = a^3 + 3a^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $A$ es regular (tiene inversa) si $|A| \neq 0$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores para los cuales la matriz no tiene inversa: $$a^3 + 3a^2 = 0$$ Factorizamos la expresión extrayendo factor común $a^2$: $$a^2(a + 3) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $a^2 = 0 \implies a = 0$ 2. $a + 3 = 0 \implies a = -3$ Por tanto, la matriz $A$ tiene inversa para todos los valores reales de $a$ excepto para $0$ y $-3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } A \text{ tiene inversa si } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, -3\}}$$

**Calcula, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $a=2$.** Como $a=2$ no es $0$ ni $-3$, sabemos que la matriz es invertible. Sustituimos $a=2$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2+1 & 1 \\ 1 & 1 & 2+1 \\ 2+1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante sustituyendo en la expresión hallada antes $|A| = a^3 + 3a^2$: $$|A| = 2^3 + 3(2^2) = 8 + 12 = 20$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A)^t$.

Calculamos cada uno de los elementos de la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 3 = -2$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 9) = 8$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 3 = -2$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(3 - 1) = -2$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 3 = -2$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 9) = 8$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 9 - 1 = 8$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 1) = -2$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 3 = -2$ La matriz de adjuntos es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -2 & 8 & -2 \\ -2 & -2 & 8 \\ 8 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$

Trasponemos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 8 \\ 8 & -2 & -2 \\ -2 & 8 & -2 \end{pmatrix}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A)^t$: $$A^{-1} = \frac{1}{20} \begin{pmatrix} -2 & -2 & 8 \\ 8 & -2 & -2 \\ -2 & 8 & -2 \end{pmatrix}$$ Podemos simplificar dividiendo todos los términos por 2: $$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 4 \\ 4 & -1 & -1 \\ -1 & 4 & -1 \end{pmatrix}$$ O bien, en forma decimal: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} -0.1 & -0.1 & 0.4 \\ 0.4 & -0.1 & -0.1 \\ -0.1 & 0.4 & -0.1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1/10 & -1/10 & 2/5 \\ 2/5 & -1/10 & -1/10 \\ -1/10 & 2/5 & -1/10 \end{pmatrix}}$$