Cálculo de límites: Indeterminaciones 1^∞ y ∞^0

**(i) $\lim_{x \to 0} (\cos 2x)^{\frac{3}{x^2}}$** Evaluamos el límite directamente para identificar la forma indeterminada: - En la base: $\lim_{x \to 0} \cos(2x) = \cos(0) = 1$. - En el exponente: $\lim_{x \to 0} \frac{3}{x^2} = \frac{3}{0} = \infty$. Estamos ante una indeterminación del tipo **$1^\infty$**. 💡 **Tip:** Cuando tenemos un límite del tipo $\lim f(x)^{g(x)}$ que resulta en $1^\infty$, podemos usar la propiedad $e^{\lim g(x)(f(x)-1)}$ o aplicar logaritmos neperianos: si $L = \lim A$, entonces $\ln L = \lim \ln A$.

Para resolver $L = \lim_{x \to 0} (\cos 2x)^{\frac{3}{x^2}}$, aplicamos que $L = e^A$, donde: $$A = \lim_{x \to 0} \ln\left[(\cos 2x)^{\frac{3}{x^2}}\right] = \lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \ln(\cos 2x)}{x^2}$$ Al evaluar, obtenemos $\frac{3 \ln(1)}{0} = \frac{0}{0}$. Aplicamos la **Regla de L'Hôpital** derivando numerador y denominador: $$A = \lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \frac{1}{\cos 2x} \cdot (-\sin 2x) \cdot 2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-3 \cdot \frac{2\sin 2x}{\cos 2x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-3 \tan 2x}{x}$$ Como volvemos a obtener $\frac{0}{0}$, aplicamos L'Hôpital de nuevo: $$A = \lim_{x \to 0} \frac{-3 \cdot 2 \cdot \sec^2(2x)}{1} = -6 \cdot \sec^2(0) = -6 \cdot 1 = -6$$ Finalmente, recuperamos el valor de $L$: $$L = e^A = e^{-6}$$ ✅ **Resultado (i):** $$\boxed{e^{-6}}$$

**(ii) $\lim_{x \to \infty} (1+x)^{\frac{1}{x}}$** Evaluamos el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a infinito: - En la base: $\lim_{x \to \infty} (1+x) = \infty$. - En el exponente: $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$. Se trata de una indeterminación del tipo **$\infty^0$**. 💡 **Tip:** Para límites con indeterminaciones de tipo potencia (como $0^0$, $\infty^0$, $1^\infty$), la estrategia más robusta es tomar logaritmos neperianos para convertir la potencia en un producto y luego en un cociente.

Sea $L = \lim_{x \to \infty} (1+x)^{\frac{1}{x}}$. Tomamos logaritmos neperianos: $$\ln L = \lim_{x \to \infty} \ln\left((1+x)^{\frac{1}{x}}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln(1+x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+x)}{x}$$ Este límite presenta la indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos la **Regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx}(\ln(1+x))}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1+x}$$ Evaluando el límite: $$\frac{1}{1+\infty} = 0$$ Por tanto, $\ln L = 0$, lo que implica: $$L = e^0 = 1$$ ✅ **Resultado (ii):** $$\boxed{1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $\lim \ln(f(x)) = 0$, entonces $\lim f(x) = e^0 = 1$.