Área limitada por dos parábolas

Para delimitar el recinto, primero debemos encontrar los puntos de intersección entre ambas parábolas igualando sus expresiones: $$x^2 - 8x = 10 - x^2$$ Agrupamos todos los términos en un miembro para obtener una ecuación de segundo grado: $$2x^2 - 8x - 10 = 0$$ Dividimos toda la ecuación entre $2$ para simplificar: $$x^2 - 4x - 5 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}$$ Obtenemos los dos valores de abscisa: - $x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5$ - $x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración para el cálculo del área. $$\boxed{x = -1, \quad x = 5}$$

Analizamos brevemente las dos parábolas para dibujarlas: 1. **$f(x) = x^2 - 8x$**: Es una parábola convexa (forma de $\cup$ ya que $a \gt 0$). Su vértice está en $x = \frac{-b}{2a} = \frac{8}{2} = 4$. El valor de la función en el vértice es $f(4) = 16 - 32 = -16$. Vértice: $(4, -16)$. 2. **$g(x) = 10 - x^2$**: Es una parábola cóncava (forma de $\cap$ ya que $a \lt 0$). Su vértice está en $x = 0$. El valor en el vértice es $g(0) = 10$. Vértice: $(0, 10)$. En el intervalo $(-1, 5)$, la función $g(x) = 10 - x^2$ está por encima de $f(x) = x^2 - 8x$. Podemos comprobarlo evaluando en $x=0$: $g(0)=10$ y $f(0)=0$.

El área del recinto limitado por dos funciones se calcula como la integral definida de la función superior menos la inferior entre los puntos de corte hallados: $$A = \int_{-1}^{5} [g(x) - f(x)] \, dx = \int_{-1}^{5} [(10 - x^2) - (x^2 - 8x)] \, dx$$ Simplificamos el integrando: $$A = \int_{-1}^{5} (-2x^2 + 8x + 10) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si al integrar obtienes un valor negativo, es probable que hayas restado las funciones en el orden inverso.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (-2x^2 + 8x + 10) \, dx = \left[ -\frac{2x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} + 10x \right] = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 4x^2 + 10x \right]$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre $-1$ y $5$: $$A = \left( -\frac{2(5)^3}{3} + 4(5)^2 + 10(5) \right) - \left( -\frac{2(-1)^3}{3} + 4(-1)^2 + 10(-1) \right)$$ Calculamos cada paréntesis: - Para $x=5$: $-\frac{250}{3} + 100 + 50 = 150 - \frac{250}{3} = \frac{450 - 250}{3} = \frac{200}{3}$ - Para $x=-1$: $-\frac{-2}{3} + 4 - 10 = \frac{2}{3} - 6 = \frac{2 - 18}{3} = -\frac{16}{3}$ Restamos ambos resultados: $$A = \frac{200}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{200}{3} + \frac{16}{3} = \frac{216}{3} = 72 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 72 \text{ unidades cuadradas}}$$