Estudio de una función racional: asíntotas y extremos

**(i) Halla el dominio y asíntotas (horizontales, verticales y oblicuas) de la función $f$ en caso de que existan.** La función $f(x) = \dfrac{1 + 4x^4 - x^2}{x}$ es una función racional. El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. En este caso, el denominador se anula si: $$x = 0$$ Por tanto, el dominio es: $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones racionales, los puntos excluidos del dominio son los candidatos principales para albergar asíntotas verticales.

Para comprobar si existe una asíntota vertical en $x = 0$, calculamos los límites laterales: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1 + 4x^4 - x^2}{x} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 + 4x^4 - x^2}{x} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ Como al menos uno de los límites laterales es infinito, existe una asíntota vertical. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = 0}$$ 💡 **Tip:** Si el límite de una función en un punto es $\pm\infty$, la recta $x = a$ es una asíntota vertical.

Estudiamos el comportamiento en el infinito para las asíntotas horizontales: $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + 4x^4 - x^2}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x^4}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} 4x^3 = \pm\infty$$ Al ser el límite infinito, **no existen asíntotas horizontales**. Para la asíntota oblicua ($y = mx + n$), calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + 4x^4 - x^2}{x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} 4x^2 = +\infty$$ Dado que $m$ es infinito, **no existen asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** En una función racional, existe una asíntota oblicua solo si el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el grado del denominador. Aquí la diferencia de grados es $4 - 1 = 3$. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x=0; \quad \text{AH: No hay}; \quad \text{AO: No hay}}$$

**(ii) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y máximos y mínimos relativos si los hubiera.** Para estudiar la monotonía, primero derivamos la función. Podemos simplificar la expresión antes de derivar: $$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{4x^4}{x} - \frac{x^2}{x} = x^{-1} + 4x^3 - x$$ Derivamos término a término: $$f'(x) = -x^{-2} + 12x^2 - 1 = -\frac{1}{x^2} + 12x^2 - 1$$ Expresamos bajo un común denominador: $$f'(x) = \frac{-1 + 12x^4 - x^2}{x^2}$$ $$\boxed{f'(x) = \frac{12x^4 - x^2 - 1}{x^2}}$$

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies 12x^4 - x^2 - 1 = 0$$ Es una ecuación bicuadrada. Hacemos el cambio $t = x^2$: $$12t^2 - t - 1 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(12)(-1)}}{2(12)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{24} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{24} = \frac{1 \pm 7}{24}$$ Obtenemos dos soluciones para $t$: 1. $t_1 = \dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3} \implies x^2 = \dfrac{1}{3} \implies x = \pm \sqrt{\dfrac{1}{3}} = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx \pm 0,577$ 2. $t_2 = \dfrac{-6}{24} = -\dfrac{1}{4} \implies x^2 = -\dfrac{1}{4}$ (No tiene solución real) Los puntos críticos son $x = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ y $x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y la discontinuidad en $x=0$. Nótese que el denominador $x^2$ siempre es positivo en el dominio, por lo que el signo depende solo del numerador $12x^4 - x^2 - 1$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3}) & -\frac{\sqrt{3}}{3} & (-\frac{\sqrt{3}}{3}, 0) & 0 & (0, \frac{\sqrt{3}}{3}) & \frac{\sqrt{3}}{3} & (\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty) \\\hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ **Intervalos de crecimiento:** $(-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)$ **Intervalos de decrecimiento:** $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 💡 **Tip:** No olvides incluir el punto de discontinuidad ($x=0$) al dividir la recta real para estudiar los signos.

A partir de la tabla anterior: - Hay un **máximo relativo** en $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. - Hay un **mínimo relativo** en $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Calculamos las coordenadas $y$: $f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1 + 4(1/9) - 1/3}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3} \left(\frac{9+4-3}{9}\right) = \frac{10\sqrt{3}}{9} \approx 1,92$ Debido a que la función es impar ($f(-x) = -f(x)$): $f\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{10\sqrt{3}}{9} \approx -1,92$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Crecimiento: } (-\infty, -\sqrt{3}/3) \cup (\sqrt{3}/3, +\infty) \\ &\text{Decrecimiento: } (-\sqrt{3}/3, 0) \cup (0, \sqrt{3}/3) \\ &\text{Máximo relativo: } \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{10\sqrt{3}}{9}\right) \\ &\text{Mínimo relativo: } \left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{10\sqrt{3}}{9}\right) \end{aligned}}$$

A continuación se presenta la gráfica de la función donde se pueden observar las asíntotas y los puntos extremos calculados.