Probabilidad y Estadística 2023 Pais Vasco
Distribución Normal: Clasificación por Niveles
QUINTA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.
Ejercicio B5
Los resultados obtenidos en una prueba de matemáticas siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 18 puntos. El 15 % del alumnado está en el nivel avanzado, el 65 % en el nivel medio y el 20 % restante en el nivel inicial. Decide, razonando tus respuestas, en qué nivel situaremos a los alumnos o alumnas que han obtenido las siguientes notas:
a) 85,5 puntos,
b) 48 puntos.
Paso 1
Identificación de la variable y parámetros de la distribución
Definimos la variable aleatoria $X$ como la puntuación obtenida en la prueba de matemáticas.
El enunciado indica que $X$ sigue una **distribución normal**, por lo que anotamos sus parámetros:
- Media: $\mu = 65$
- Desviación típica: $\sigma = 18$
Por tanto: $X \sim N(65, 18)$.
💡 **Tip:** En una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, para calcular probabilidades debemos tipificar la variable transformándola en una $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.
Paso 2
Establecimiento de los criterios de clasificación
Para clasificar a los alumnos según su nota, debemos entender los porcentajes acumulados de cada nivel:
1. **Nivel Inicial:** Es el 20 % con menor nota. Corresponde a los alumnos en el percentil del 0 % al 20 %. Es decir, aquellos cuya probabilidad acumulada es $P(X \le x) \le 0,20$.
2. **Nivel Medio:** Es el siguiente 65 %. Sumado al anterior, abarca desde el percentil 20 % hasta el 85 % ($20\% + 65\% = 85\%$). Es decir, $0,20 < P(X \le x) \le 0,85$.
3. **Nivel Avanzado:** Es el 15 % con mayor nota. Corresponde a los alumnos por encima del percentil 85 %. Es decir, $P(X \le x) > 0,85$.
Resumiendo:
- **Inicial:** $P(X \le x) \in [0, 0,20]$
- **Medio:** $P(X \le x) \in (0,20, 0,85]$
- **Avanzado:** $P(X \le x) \in (0,85, 1]$
Paso 3
Cálculo del nivel para una nota de 85,5 puntos
**a) 85,5 puntos**
Calculamos la probabilidad acumulada para $x = 85,5$. Primero, tipificamos el valor:
$$Z = \frac{85,5 - 65}{18} = \frac{20,5}{18} \approx 1,1388 \approx 1,14$$
Buscamos en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$ la probabilidad $P(Z \le 1,14)$:
$$P(X \le 85,5) = P(Z \le 1,14) = 0,8729$$
Como $0,8729 > 0,85$ (es decir, el alumno está por encima del percentil 85), pertenece al grupo del 15 % con mejores notas.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Nivel Avanzado}}$$
Paso 4
Cálculo del nivel para una nota de 48 puntos
**b) 48 puntos**
Calculamos la probabilidad acumulada para $x = 48$. Tipificamos el valor:
$$Z = \frac{48 - 65}{18} = \frac{-17}{18} \approx -0,9444 \approx -0,94$$
Calculamos la probabilidad usando las propiedades de simetría de la normal:
$$P(X \le 48) = P(Z \le -0,94) = P(Z \ge 0,94) = 1 - P(Z \le 0,94)$$
Buscamos en la tabla el valor para $0,94$:
$$P(Z \le 0,94) = 0,8264$$
$$P(X \le 48) = 1 - 0,8264 = 0,1736$$
Como $0,1736 \le 0,20$ (es decir, el alumno está dentro del primer 20 % de la distribución), pertenece al nivel inicial.
💡 **Tip:** Recuerda que las tablas de la normal estándar solo suelen mostrar valores positivos de $Z$. Para valores negativos, usamos $P(Z \le -a) = 1 - P(Z \le a)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Nivel Inicial}}$$