Probabilidad total y Teorema de Bayes en producción

**a) calcula la probabilidad de que la pieza sea defectuosa;** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el experimento aleatorio: - $D$: La pieza ha sido fabricada en un turno diurno. - $N$: La pieza ha sido fabricada en el turno nocturno. - $Def$: La pieza es defectuosa. - $\overline{Def}$: La pieza no es defectuosa (correcta). Como la producción se realiza a partes iguales entre cuatro turnos (3 diurnos y 1 nocturno), las probabilidades de los turnos son: - $P(D) = \dfrac{3}{4} = 0,75$ - $P(N) = \dfrac{1}{4} = 0,25$ Las probabilidades condicionadas dadas por el enunciado son: - $P(Def|D) = 2\% = 0,02$ - $P(Def|N) = 10\% = 0,10$ Representamos la situación en un árbol de probabilidad:

Para calcular la probabilidad de que una pieza sea defectuosa, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(Def) = P(D) \cdot P(Def|D) + P(N) \cdot P(Def|N)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(Def) = 0,75 \cdot 0,02 + 0,25 \cdot 0,10$$ $$P(Def) = 0,015 + 0,025 = 0,04$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varias vías excluyentes (en este caso, que sea defectuosa por venir del turno diurno o del nocturno). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Def) = 0,04 \text{ (o } 4\%\text{)}}$$

**b) si la pieza tomada es defectuosa, calcula la probabilidad de que se haya producido en un turno diurno.** Nos piden calcular la probabilidad de que la pieza provenga de un turno diurno sabiendo que es defectuosa, es decir, $P(D|Def)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(D|Def) = \frac{P(D \cap Def)}{P(Def)} = \frac{P(D) \cdot P(Def|D)}{P(Def)}$$ Utilizamos el valor de $P(Def)$ obtenido en el apartado anterior: $$P(D|Def) = \frac{0,75 \cdot 0,02}{0,04}$$ $$P(D|Def) = \frac{0,015}{0,04}$$ $$P(D|Def) = 0,375$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite "invertir" la condicionalidad. Conocemos $P(Def|D)$ y queremos hallar $P(D|Def)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D|Def) = 0,375 \text{ (o } 37,5\%\text{)}}$$