Cálculo de integrales indefinidas

**Calcula la siguiente integral: $\int \frac{x^2 + 4}{(x + 2)^2} dx$** Observamos que se trata de una integral racional donde el grado del numerador es igual al grado del denominador (ambos de grado 2). El primer paso es realizar la división de polinomios o manipular el numerador. Desarrollamos el denominador: $$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$$ Ahora, reescribimos el numerador para que aparezca el denominador: $$\frac{x^2 + 4}{x^2 + 4x + 4} = \frac{(x^2 + 4x + 4) - 4x}{x^2 + 4x + 4} = 1 - \frac{4x}{(x+2)^2}$$ 💡 **Tip:** Cuando el grado del numerador es mayor o igual al del denominador, siempre debemos dividir primero para obtener una parte entera y una fracción propia.

Para resolver la integral de la fracción propia $\frac{4x}{(x+2)^2}$, aplicamos el método de descomposición en fracciones simples para raíces reales múltiples: $$\frac{4x}{(x+2)^2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x+2)^2}$$ Multiplicamos por el denominador común: $$4x = A(x+2) + B$$ Calculamos los coeficientes: - Si $x = -2$: $4(-2) = B \implies \mathbf{B = -8}$ - Si $x = 0$: $0 = 2A + B \implies 0 = 2A - 8 \implies \mathbf{A = 4}$ Sustituyendo en la expresión original de la integral: $$\int \frac{x^2 + 4}{(x + 2)^2} dx = \int \left( 1 - \left[ \frac{4}{x+2} - \frac{8}{(x+2)^2} \right] \right) dx = \int \left( 1 - \frac{4}{x+2} + \frac{8}{(x+2)^2} \right) dx$$

Integramos término a término: 1. $\int 1 \, dx = x$ 2. $\int \frac{4}{x+2} \, dx = 4 \ln|x+2|$ 3. $\int \frac{8}{(x+2)^2} \, dx = 8 \int (x+2)^{-2} \, dx = 8 \frac{(x+2)^{-1}}{-1} = -\frac{8}{x+2}$ Combinando todos los términos y añadiendo la constante de integración $C$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int \frac{x^2 + 4}{(x + 2)^2} dx = x - 4 \ln|x+2| - \frac{8}{x+2} + C}$$

**Calcula la siguiente integral: $\int (x + 2) \sin(3x) dx$** Esta integral es el producto de un polinomio por una función trigonométrica, lo que sugiere el uso del método de **integración por partes**. Utilizamos la fórmula: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ Elegimos las partes siguiendo la regla ALPES (Polinómica antes que Trigonométrica): - $u = x + 2 \implies du = dx$ - $dv = \sin(3x) \, dx \implies v = \int \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3}\cos(3x)$ 💡 **Tip:** Recuerda que al integrar $\sin(ax)$, el resultado es $-\frac{1}{a}\cos(ax)$.

Aplicamos la fórmula de integración por partes: $$\int (x + 2) \sin(3x) dx = (x+2) \left( -\frac{1}{3}\cos(3x) \right) - \int -\frac{1}{3}\cos(3x) \, dx$$ Simplificamos la expresión: $$= -\frac{x+2}{3} \cos(3x) + \frac{1}{3} \int \cos(3x) \, dx$$ Resolvemos la integral restante: $$\int \cos(3x) \, dx = \frac{1}{3} \sin(3x)$$ Sustituimos y añadimos la constante $C$: $$= -\frac{x+2}{3} \cos(3x) + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3} \sin(3x) \right) + C$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int (x + 2) \sin(3x) dx = -\frac{x+2}{3} \cos(3x) + \frac{1}{9} \sin(3x) + C}$$