Área de un recinto en el primer cuadrante

Para dibujar el recinto y determinar los límites de integración, primero debemos hallar los puntos donde se cortan las tres funciones proporcionadas en el primer cuadrante ($x \ge 0$): 1. **Corte entre $y = \frac{x^2}{4}$ e $y = 4$:** $$\frac{x^2}{4} = 4 \implies x^2 = 16 \implies x = 4$$ Como estamos en el primer cuadrante, el punto es $(4, 4)$. 2. **Corte entre $y = \frac{4}{x^2}$ e $y = 4$:** $$\frac{4}{x^2} = 4 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$$ El punto de corte es $(1, 4)$. 3. **Corte entre $y = \frac{x^2}{4}$ e $y = \frac{4}{x^2}$:** $$\frac{x^2}{4} = \frac{4}{x^2} \implies x^4 = 16 \implies x = \sqrt[4]{16} = 2$$ El punto de corte es $(2, 1)$. 💡 **Tip:** Al buscar puntos de corte en el primer cuadrante, solo consideramos las soluciones positivas para $x$.

El recinto está limitado: - **Inferiormente** por la parábola $y = \frac{x^2}{4}$. - **Superiormente** por dos curvas: la recta horizontal $y = 4$ y la hipérbola $y = \frac{4}{x^2}$. Observando los puntos de corte: - Desde $x = 0$ hasta $x = 1$, el techo del recinto es la recta $y = 4$. - Desde $x = 1$ hasta $x = 2$, el techo del recinto es la hipérbola $y = \frac{4}{x^2}$. - El recinto termina en $x = 2$, donde la hipérbola corta a la parábola (su suelo). El eje $Y$ ($x=0$) actúa como límite lateral izquierdo ya que se especifica el primer cuadrante.

El área total $A$ se divide en dos regiones según cambie la función que limita superiormente el recinto: $$A = \int_{0}^{1} \left( 4 - \frac{x^2}{4} \right) dx + \int_{1}^{2} \left( \frac{4}{x^2} - \frac{x^2}{4} \right) dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área entre dos funciones $f(x)$ (superior) y $g(x)$ (inferior) se calcula como $\int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx$.

Calculamos el área de la primera región $A_1$ en el intervalo $[0, 1]$: $$A_1 = \int_{0}^{1} \left( 4 - \frac{x^2}{4} \right) dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{1}$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A_1 = \left( 4(1) - \frac{1^3}{12} \right) - (0) = 4 - \frac{1}{12} = \frac{48 - 1}{12} = \frac{47}{12} \text{ u}^2$$ $$\boxed{A_1 = \frac{47}{12}}$$

Calculamos el área de la segunda región $A_2$ en el intervalo $[1, 2]$. Notemos que $\frac{4}{x^2} = 4x^{-2}$: $$A_2 = \int_{1}^{2} \left( \frac{4}{x^2} - \frac{x^2}{4} \right) dx = \left[ -\frac{4}{x} - \frac{x^3}{12} \right]_{1}^{2}$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A_2 = \left( -\frac{4}{2} - \frac{2^3}{12} \right) - \left( -\frac{4}{1} - \frac{1^3}{12} \right)$$ $$A_2 = \left( -2 - \frac{8}{12} \right) - \left( -4 - \frac{1}{12} \right)$$ $$A_2 = -2 - \frac{2}{3} + 4 + \frac{1}{12} = 2 - \frac{2}{3} + \frac{1}{12}$$ Convertimos a común denominador ($12$): $$A_2 = \frac{24 - 8 + 1}{12} = \frac{17}{12} \text{ u}^2$$ $$\boxed{A_2 = \frac{17}{12}}$$

Sumamos ambas áreas para obtener el resultado final: $$A = A_1 + A_2 = \frac{47}{12} + \frac{17}{12} = \frac{64}{12}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 4: $$A = \frac{16}{3} \approx 5,33 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{16}{3} \text{ unidades cuadradas}}$$