Cálculo de parámetros de una función cuadrática

El enunciado nos indica que $f(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$. Primero, calculamos el valor de la función en $x=0$: $$f(0) = A(0)^2 + B(0) + C = C.$$ Ahora, resolvemos el límite. Se trata de una indeterminación del tipo $\left[\frac{0}{0}\right]$, por lo que podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sin x)'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos(0) = 1.$$ Igualando ambos resultados, obtenemos el valor de $C$: $$C = 1.$$ 💡 **Tip:** El límite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ es un límite notable fundamental en trigonometría. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{C = 1}$$

Se nos indica que la función es creciente en $(-\infty, 1)$ y decreciente en $(1, \infty)$. Al ser $f(x)$ una función cuadrática (una parábola), este cambio de monotonía ocurre exactamente en su **vértice**, es decir, en $x = 1$. Para una función derivable, en un extremo relativo la primera derivada debe ser nula: $$f'(1) = 0.$$ Calculamos la derivada genérica de $f(x) = Ax^2 + Bx + C$: $$f'(x) = 2Ax + B.$$ Sustituimos $x = 1$ e igualamos a cero: $$f'(1) = 2A(1) + B = 0 \implies 2A + B = 0.$$ Como la función pasa de crecer a decrecer, sabemos además que la parábola es cóncava hacia abajo, por lo que el coeficiente **$A$ debe ser negativo**. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ ✅ **Ecuación 1:** $$\boxed{2A + B = 0}$$

La recta tangente en $x = 2$ es perpendicular a la recta $r: y = x + 2$. 1. La pendiente de la recta $r$ es $m_r = 1$. 2. La pendiente de la recta tangente a $f$ en $x=2$ es $m_t = f'(2)$. Si dos rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es $-1$: $$m_r \cdot m_t = -1 \implies 1 \cdot f'(2) = -1 \implies f'(2) = -1.$$ Usando la expresión de la derivada $f'(x) = 2Ax + B$: $$f'(2) = 2A(2) + B = -1 \implies 4A + B = -1.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta tiene pendiente $m$, cualquier recta perpendicular a ella tendrá pendiente $-1/m$. ✅ **Ecuación 2:** $$\boxed{4A + B = -1}$$

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones obtenidas: $$\begin{cases} 2A + B = 0 \quad \text{(Ecuación 1)} \\ 4A + B = -1 \quad \text{(Ecuación 2)} \end{cases}$$ Restamos la Ecuación 1 a la Ecuación 2 para eliminar $B$: $$(4A + B) - (2A + B) = -1 - 0$$ $$2A = -1 \implies A = -\frac{1}{2}.$$ Ahora, sustituimos el valor de $A$ en la Ecuación 1 para hallar $B$: $$2\left(-\frac{1}{2}\right) + B = 0 \implies -1 + B = 0 \implies B = 1.$$ ✅ **Valores hallados:** $$\boxed{A = -\frac{1}{2}, \quad B = 1}$$

Tras aplicar las condiciones de límites, extremos relativos y perpendicularidad de la tangente, los valores de los parámetros son: - $A = -1/2$ - $B = 1$ - $C = 1$ La función resultante es: $$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + 1$$ ✅ **Solución final:** $$\boxed{A = -0,5; \quad B = 1; \quad C = 1}$$