Estudio de monotonía, extremos y recta tangente de una función polinómica

Para estudiar el crecimiento, decrecimiento y los extremos relativos, primero debemos hallar la derivada de la función $f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2$. Calculamos $f'(x)$ aplicando las reglas de derivación básicas para potencias: $$f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x$$ A continuación, buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$4x^3 - 6x^2 + 2x = 0$$ Factorizamos la expresión extrayendo factor común $2x$: $$2x(2x^2 - 3x + 1) = 0$$ Esto nos da una primera solución: **$x_1 = 0$**. Para las otras dos, resolvemos la ecuación de segundo grado $2x^2 - 3x + 1 = 0$: $$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4}$$ Las soluciones son: $$x_2 = \frac{4}{4} = 1, \quad x_3 = \frac{2}{4} = 0,5$$ 💡 **Tip:** Los puntos críticos donde $f'(x) = 0$ son los candidatos a ser máximos o mínimos relativos. $$\boxed{x = 0, \; x = 0,5, \; x = 1}$$

Dividimos la recta real en intervalos definidos por los puntos críticos y estudiamos el signo de $f'(x) = 2x(x-1)(2x-1)$ en cada uno de ellos: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0; 0,5) & 0,5 & (0,5; 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow & \text{máx} & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array}$$ Interpretación de los intervalos: - En $(-\infty, 0) \cup (0,5; 1)$, la función es **decreciente** ($f'(x) \lt 0$). - En $(0; 0,5) \cup (1, +\infty)$, la función es **creciente** ($f'(x) \gt 0$). 💡 **Tip:** Para saber el signo en un intervalo, elige un valor cualquiera del mismo (ej. $x = -1, x = 0,1, x = 0,6, x = 2$) y sustitúyelo en $f'(x)$.

A partir del análisis del signo de la derivada en el paso anterior, identificamos los extremos relativos calculando su coordenada $y$ mediante $f(x)$: - **Mínimo relativo en $x=0$**: $$f(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^3 + 0^2 = 0 \implies \mathbf{M_1(0, 0)}$$ - **Máximo relativo en $x=0,5$**: $$f(0,5) = (0,5)^4 - 2(0,5)^3 + (0,5)^2 = 0,0625 - 0,25 + 0,25 = 0,0625 \implies \mathbf{M_2(0,5; 0,0625)}$$ - **Mínimo relativo en $x=1$**: $$f(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^3 + 1^2 = 1 - 2 + 1 = 0 \implies \mathbf{M_3(1, 0)}$$ ✅ **Resultado (Intervalos y Extremos):** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Creciente: } (0; 0,5) \cup (1, +\infty) \\ \text{Decreciente: } (-\infty, 0) \cup (0,5; 1) \\ \text{Mínimos: } (0,0) \text{ y } (1,0) \\ \text{Máximo: } (0,5; 0,0625) \end{matrix}}$$

Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x = 2$, necesitamos el punto de tangencia $(a, f(a))$ y la pendiente $m = f'(a)$. 1. **Punto de tangencia:** $$f(2) = 2^4 - 2(2^3) + 2^2 = 16 - 16 + 4 = 4$$ El punto es **$(2, 4)$**. 2. **Pendiente de la tangente ($m$):** $$f'(2) = 4(2)^3 - 6(2)^2 + 2(2) = 32 - 24 + 4 = 12$$ La pendiente es **$m = 12$**. 3. **Ecuación de la recta:** Usamos la fórmula punto-pendiente $y - f(a) = f'(a)(x - a)$: $$y - 4 = 12(x - 2)$$ $$y = 12x - 24 + 4 \implies y = 12x - 20$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = 12x - 20}$$