Intersección de recta y planos. Distancias en el espacio

**a) las coordenadas de los puntos $P_1$ y $P_2$;** Para hallar los puntos de corte de una recta con un plano, lo más sencillo es expresar la recta en ecuaciones paramétricas e integrarla en la ecuación del plano. Dada la recta $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-1}{2}$, igualamos a un parámetro $\lambda$: $$\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{cases}$$ Para hallar $P_1 = r \cap \pi_1$, sustituimos estas expresiones en la ecuación de $\pi_1 \equiv x + y + z = 1$: $$(1 + \lambda) + (1 - \lambda) + (1 + 2\lambda) = 1$$ $$3 + 2\lambda = 1 \implies 2\lambda = -2 \implies \lambda = -1$$ Sustituimos $\lambda = -1$ en las paramétricas de $r$: $$x = 1 + (-1) = 0$$ $$y = 1 - (-1) = 2$$ $$z = 1 + 2(-1) = -1$$ 💡 **Tip:** El punto de corte es el único punto que satisface simultáneamente la ecuación de la recta y la del plano. $$\boxed{P_1 = (0, 2, -1)}$$

De igual forma, calculamos $P_2 = r \cap \pi_2$ sustituyendo las paramétricas de $r$ en la ecuación del plano $\pi_2 \equiv x + y - z = 1$: $$(1 + \lambda) + (1 - \lambda) - (1 + 2\lambda) = 1$$ $$2 - 1 - 2\lambda = 1$$ $$1 - 2\lambda = 1 \implies -2\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ Sustituimos $\lambda = 0$ en las paramétricas de $r$: $$x = 1 + 0 = 1$$ $$y = 1 - 0 = 1$$ $$z = 1 + 2(0) = 1$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{P_1 = (0, 2, -1) \text{ y } P_2 = (1, 1, 1)}$$

**b) la distancia entre los puntos $P_1$ y $P_2$;** La distancia entre dos puntos $A$ y $B$ coincide con el módulo del vector que los une: $d(A, B) = |\vec{AB}|$. Calculamos primero el vector $\vec{P_1 P_2}$: $$\vec{P_1 P_2} = P_2 - P_1 = (1 - 0, 1 - 2, 1 - (-1)) = (1, -1, 2)$$ Ahora calculamos su módulo: $$d(P_1, P_2) = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$$ 💡 **Tip:** La distancia entre dos puntos $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$ es $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{d(P_1, P_2) = \sqrt{6} \text{ unidades u.}}$$

**c) la distancia del punto $P_1$ al plano $\pi_2$.** Usamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Datos: - Punto $P_1 = (0, 2, -1)$ - Plano $\pi_2 \equiv x + y - z - 1 = 0$ Sustituimos: $$d(P_1, \pi_2) = \frac{|1(0) + 1(2) - 1(-1) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}}$$ $$d(P_1, \pi_2) = \frac{|0 + 2 + 1 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(P_1, \pi_2) = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ 💡 **Tip:** No olvides poner la ecuación del plano en forma general (igualada a cero) antes de aplicar la fórmula. ✅ **Resultado (apartado c):** $$\boxed{d(P_1, \pi_2) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ unidades u.}}$$