Geometría en el espacio: Rectas y perpendicularidad

**a) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta $r$.** Para pasar de ecuaciones implícitas (cartesianas) a paramétricas, necesitamos un punto $R$ de la recta y su vector director $\vec{v}_r$. El vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $$\vec{n}_1 = (1, 1, -1), \quad \vec{n}_2 = (2, 2, 1)$$ $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v}_r = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 - 1 \cdot 2)$$ $$\vec{v}_r = \mathbf{i}(1 + 2) - \mathbf{j}(1 + 2) + \mathbf{k}(0) = (3, -3, 0)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 3: **$\vec{v}_r = (1, -1, 0)$**. 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al obtenido sirve como vector director de la recta.

Para encontrar un punto $R \in r$, asignamos un valor a una de las variables. Si hacemos $x = 0$ en el sistema original: $$ \begin{cases} y - z = 1 \\ 2y + z = 2 \end{cases} $$ Sumamos ambas ecuaciones: $$3y = 3 \implies y = 1$$ Sustituimos $y=1$ en la primera: $$1 - z = 1 \implies z = 0$$ El punto es **$R(0, 1, 0)$**. Las ecuaciones paramétricas de $r$ son: $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 0 \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que corta perpendicularmente a $r$ y pasa por el punto $P(2, 1, 0)$, que es exterior a $r$.** La recta buscada (llamémosla $s$) debe pasar por $P(2, 1, 0)$ y por un punto $M$ de la recta $r$ tal que el vector $\vec{PM}$ sea perpendicular al vector director de $r$ ($\vec{v}_r$). 1. Expresamos un punto genérico $M$ de la recta $r$ usando su parámetro $\lambda$: $$M(\lambda, 1 - \lambda, 0)$$ 2. Hallamos el vector $\vec{PM}$: $$\vec{PM} = M - P = (\lambda - 2, (1 - \lambda) - 1, 0 - 0) = (\lambda - 2, -\lambda, 0)$$ 💡 **Tip:** El punto $M$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre la recta $r$.

Para que la recta $s$ sea perpendicular a $r$, los vectores $\vec{PM}$ y $\vec{v}_r$ deben ser ortogonales, es decir, su producto escalar debe ser cero: $$\vec{PM} \cdot \vec{v}_r = 0$$ Sustituimos los vectores $(\lambda - 2, -\lambda, 0)$ y $(1, -1, 0)$: $$(\lambda - 2) \cdot 1 + (-\lambda) \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = 0$$ $$\lambda - 2 + \lambda = 0$$ $$2\lambda = 2 \implies \lambda = 1$$ Sustituyendo $\lambda = 1$ obtenemos el punto de corte $M$: $$M(1, 1 - 1, 0) \implies M(1, 0, 0)$$

La recta $s$ queda definida por el punto $P(2, 1, 0)$ y el vector director $\vec{v}_s = \vec{PM}$. Calculamos $\vec{v}_s$ con $\lambda = 1$: $$\vec{v}_s = (1 - 2, -1, 0) = (-1, -1, 0)$$ Para simplificar las ecuaciones, podemos usar el vector proporcional **$(1, 1, 0)$**. Escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta $s$: $$\boxed{s \equiv \begin{cases} x = 2 + \mu \\ y = 1 + \mu \\ z = 0 \end{cases} \quad \forall \mu \in \mathbb{R}}$$ (También sería válida la forma usando el punto $M$ o el vector original $(-1, -1, 0)$).