Rango de una matriz con parámetro

**Ejercicio B1 Calcula el rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $\alpha$, siendo $$ A = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & \alpha & 0 \\ 3 & \alpha & 0 & \alpha \\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}. $$** La matriz $A$ es de dimensiones $3 \times 4$. Por definición, el rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo (determinante de una submatriz cuadrada). Dado que el número de filas es 3 y el de columnas es 4, el rango máximo posible es el menor de ambos valores: $$\text{rango}(A) \le \min(3, 4) = 3.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el rango de una matriz representa el número de filas (o columnas) linealmente independientes. En una matriz $m \times n$, el rango nunca puede superar el valor de $m$ ni el de $n$.

Para que el rango de $A$ sea 3, debe existir al menos un menor de orden $3 \times 3$ cuyo determinante sea distinto de cero. Consideramos el menor $M_1$ formado por las tres primeras columnas: $$M_1 = \begin{vmatrix} \alpha & 0 & \alpha \\ 3 & \alpha & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos su determinante aplicando la **regla de Sarrus**: $$\det(M_1) = [(\alpha) \cdot (\alpha) \cdot (-1) + (0) \cdot (0) \cdot (0) + (\alpha) \cdot (3) \cdot (1)] - [(0) \cdot (\alpha) \cdot (\alpha) + (1) \cdot (0) \cdot (\alpha) + (-1) \cdot (3) \cdot (0)]$$ $$\det(M_1) = [-\alpha^2 + 0 + 3\alpha] - [0 + 0 + 0] = -\alpha^2 + 3\alpha$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $\alpha$: $$-\alpha^2 + 3\alpha = 0 \implies \alpha(-\alpha + 3) = 0$$ Las soluciones son **$\alpha = 0$** y **$\alpha = 3$**. Esto significa que si $\alpha \neq 0$ y $\alpha \neq 3$, el determinante es distinto de cero y el rango es automáticamente 3. Sin embargo, debemos comprobar qué ocurre con otros menores en esos valores específicos.

Si $\alpha = 3$, el primer menor es nulo ($\det(M_1) = 0$). Probamos con otro menor de orden 3, por ejemplo, tomando las columnas 1, 2 y 4: $$M_2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Como la primera fila tiene dos ceros, desarrollamos por los elementos de esa fila: $$\det(M_2) = 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 3 \cdot (3 \cdot 2 - 3 \cdot 1) = 3 \cdot (6 - 3) = 9$$ Como $\det(M_2) = 9 \neq 0$, existe un menor de orden 3 no nulo. ✅ **Resultado para $\alpha = 3$:** $$\boxed{\text{Si } \alpha = 3, \text{rango}(A) = 3}$$

Si $\alpha = 0$, sustituimos en la matriz $A$: $$ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} $$ Observamos que la primera fila es completamente nula. Por lo tanto, es imposible encontrar un menor de orden 3 no nulo (cualquier determinante de $3 \times 3$ contendrá una fila de ceros). El rango debe ser menor que 3. Buscamos ahora un menor de orden 2 que sea distinto de cero. Por ejemplo, tomando las filas 2 y 3, y las columnas 1 y 2: $$\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 3 \neq 0$$ Al existir un menor de orden 2 no nulo y ser todos los de orden 3 nulos, el rango es 2. ✅ **Resultado para $\alpha = 0$:** $$\boxed{\text{Si } \alpha = 0, \text{rango}(A) = 2}$$

Tras analizar todos los casos posibles para el parámetro $\alpha$, podemos concluir lo siguiente: 1. Si **$\alpha = 0$**, la primera fila se anula y el rango se reduce. 2. Si **$\alpha \neq 0$**, siempre existirá al menos un menor de orden 3 no nulo (ya sea $M_1$ si $\alpha \neq 3$, o $M_2$ si $\alpha = 3$). Resumen de resultados: - Si **$\alpha = 0 \implies \text{rango}(A) = 2$** - Si **$\alpha \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 3$** 💡 **Tip:** En ejercicios de rango con parámetros, si la matriz no es cuadrada, el rango será el valor máximo a menos que *todos* los posibles menores de ese orden máximo se anulen simultáneamente para un mismo valor del parámetro. ✅ **Solución final:** $$\boxed{\text{rango}(A) = \begin{cases} 2 & \text{si } \alpha = 0 \\ 3 & \text{si } \alpha \neq 0 \end{cases}}$$