Discusión y resolución de un sistema lineal con parámetros

**Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función del parámetro $\alpha$:** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, identificando la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \vert & 1 \\ 1 & \alpha & 1 & \vert & 1 \\ 2 & 3 & 4 & \vert & 2 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema según el valor de $\alpha$, calcularemos el determinante de $A$. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli nos permite determinar la compatibilidad de un sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada.

Calculamos $|A|$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = (1 \cdot \alpha \cdot 4) + (2 \cdot 1 \cdot 2) + (3 \cdot 1 \cdot 3) - (3 \cdot \alpha \cdot 2) - (2 \cdot 1 \cdot 4) - (1 \cdot 1 \cdot 3)$$ $$|A| = 4\alpha + 4 + 9 - 6\alpha - 8 - 3$$ $$|A| = -2\alpha + 2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-2\alpha + 2 = 0 \implies -2\alpha = -2 \implies \mathbf{\alpha = 1}$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es distinto de cero, el rango de la matriz es máximo (3 en este caso).

Analizamos los casos según el valor de $\alpha$: **Caso 1: $\alpha \neq 1$** Si $\alpha \neq 1 \implies |A| \neq 0$. Por lo tanto, $\text{rango}(A) = 3$. Como el rango máximo de la matriz ampliada $A^*$ también es 3 y coincide con el número de incógnitas: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3 = n^\circ \text{ incógnitas} \implies \mathbf{\text{Sistema Compatible Determinado (SCD)}}$$ El sistema tiene una **solución única**. **Caso 2: $\alpha = 1$** Si $\alpha = 1 \implies |A| = 0$. La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \vert & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \vert & 1 \\ 2 & 3 & 4 & \vert & 2 \end{pmatrix}$$ Observamos que la tercera fila es la suma de las dos primeras ($F_3 = F_1 + F_2$): $1+1=2, \quad 2+1=3, \quad 3+1=4, \quad 1+1=2$. Esto significa que las filas son linealmente dependientes. Como hay un menor de orden 2 no nulo, por ejemplo $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0$, tenemos: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3 = n^\circ \text{ incógnitas} \implies \mathbf{\text{Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}}$$ El sistema tiene **infinitas soluciones**. ✅ **Resumen de la discusión:** $$\boxed{\begin{cases} \alpha \neq 1: \text{SCD (solución única)} \\ \alpha = 1: \text{SCI (infinitas soluciones)} \end{cases}}$$

**Resuelve el sistema en el caso $\alpha = 1$.** Como es un SCI con $\text{rango}=2$, descartamos la ecuación dependiente (la tercera) y usamos un parámetro. El sistema queda: $$ \begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ x + y + z = 1 \end{cases} $$ Hacemos $\mathbf{z = \lambda}$. Restamos las dos ecuaciones para eliminar $x$: $$(x + 2y + 3\lambda) - (x + y + \lambda) = 1 - 1 \implies y + 2\lambda = 0 \implies \mathbf{y = -2\lambda}$$ Sustituimos en la segunda ecuación: $$x + (-2\lambda) + \lambda = 1 \implies x - \lambda = 1 \implies \mathbf{x = 1 + \lambda}$$ ✅ **Resultado para $\alpha = 1$:** $$\boxed{(x, y, z) = (1 + \lambda, -2\lambda, \lambda) \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**Resuelve el sistema en el caso $\alpha = 2$.** En este caso el sistema es SCD. El sistema es: $$ \begin{cases} 1) \quad x + 2y + 3z = 1 \\ 2) \quad x + 2y + z = 1 \\ 3) \quad 2x + 3y + 4z = 2 \end{cases} $$ Restamos la ecuación 2 de la ecuación 1: $$(x + 2y + 3z) - (x + 2y + z) = 1 - 1 \implies 2z = 0 \implies \mathbf{z = 0}$$ Sustituimos $z=0$ en las ecuaciones 1 y 3: $$ \begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2x + 3y = 2 \end{cases} $$ De la primera despejamos $x = 1 - 2y$ y sustituimos en la otra: $$2(1 - 2y) + 3y = 2 \implies 2 - 4y + 3y = 2 \implies -y = 0 \implies \mathbf{y = 0}$$ Finalmente, calculamos $x$: $$x = 1 - 2(0) = 1 \implies \mathbf{x = 1}$$ ✅ **Resultado para $\alpha = 2$:** $$\boxed{(x, y, z) = (1, 0, 0)}$$