Aproximación de la Binomial por la Normal

Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de caras obtenidas al lanzar $n = 500$ monedas. Cada moneda tiene una probabilidad de salir cara de $p = 0.5$, y de salir cruz de $q = 1 - p = 0.5$. Al ser sucesos independientes, $X$ sigue una **distribución binomial**: $$X \sim B(n, p) = B(500, 0.5)$$ Dado que $n$ es muy grande, podemos aproximar esta binomial a una **distribución normal**. Para ello, verificamos las condiciones: 1. $n \cdot p = 500 \cdot 0.5 = 250 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 500 \cdot 0.5 = 250 \gt 5$ Como se cumplen ambas, realizamos la aproximación $X \sim N(\mu, \sigma)$. 💡 **Tip:** Siempre que $n \cdot p \gt 5$ y $n \cdot q \gt 5$, la distribución binomial se comporta de forma casi idéntica a una normal, lo que facilita enormemente los cálculos.

Calculamos la media ($\mu$) y la desviación típica ($\sigma$) de la nueva distribución normal: - Media: $\mu = n \cdot p = 500 \cdot 0.5 = 250$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{500 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{125} \approx 11.18$ Por tanto, la variable $X$ se puede aproximar por una variable normal $X' \sim N(250, 11.18)$. $$\boxed{\mu = 250, \quad \sigma \approx 11.18}$$

**a) la probabilidad de que el número de caras sea mayor que 240;** Queremos calcular $P(X \gt 240)$. Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates**: $$P(X \gt 240) = P(X \ge 241) \approx P(X' \ge 240.5)$$ Ahora tipificamos la variable para usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P(X' \ge 240.5) = P\left(Z \ge \frac{240.5 - 250}{11.18}\right) = P(Z \ge -0.85)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \ge -0.85) = P(Z \le 0.85)$$ Consultando en la tabla de la normal $N(0, 1)$, obtenemos $0.8023$. 💡 **Tip:** La corrección de Yates suma o resta $0.5$ para que el rectángulo de la binomial quede bien cubierto por el área de la normal. Si te piden $X > k$, realmente empiezas en $k+1$, por lo que el límite es $k+0.5$. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{P(X \gt 240) \approx 0.8023}$$

**b) la probabilidad de que el número de caras sea menor que 230;** Buscamos $P(X \lt 230)$. Aplicamos la corrección de continuidad: $$P(X \lt 230) = P(X \le 229) \approx P(X' \le 229.5)$$ Tipificamos el valor: $$P(X' \le 229.5) = P\left(Z \le \frac{229.5 - 250}{11.18}\right) = P(Z \le -1.83)$$ Como la tabla solo ofrece valores positivos, aplicamos propiedades de simetría: $$P(Z \le -1.83) = P(Z \ge 1.83) = 1 - P(Z \le 1.83)$$ Consultamos el valor en la tabla: $$1 - 0.9664 = 0.0336$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{P(X \lt 230) \approx 0.0336}$$

**c) la probabilidad de que el número de caras esté comprendido entre 230 y 240, ambos incluidos.** Buscamos $P(230 \le X \le 240)$. Aplicamos la corrección de continuidad en ambos extremos: $$P(229.5 \le X' \le 240.5)$$ Tipificamos ambos valores (usando los cálculos de los apartados anteriores): $$P\left(\frac{229.5 - 250}{11.18} \le Z \le \frac{240.5 - 250}{11.18}\right) = P(-1.83 \le Z \le -0.85)$$ Operamos con la función de distribución: $$P(-1.83 \le Z \le -0.85) = P(Z \le -0.85) - P(Z \le -1.83)$$ $$= P(Z \ge 0.85) - P(Z \ge 1.83) = [1 - P(Z \le 0.85)] - [1 - P(Z \le 1.83)]$$ $$= P(Z \le 1.83) - P(Z \le 0.85)$$ Sustituimos los valores de la tabla: $$0.9664 - 0.8023 = 0.1641$$ ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{P(230 \le X \le 240) \approx 0.1641}$$