Probabilidad con dados trucados y Teorema de Bayes

**a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 en la primera tirada y un 2 en la segunda?** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el experimento: - $D_N$: Elegir el dado normal. - $D_T$: Elegir el dado trucado. - $1_1$: Obtener un 1 en la primera tirada. - $2_2$: Obtener un 2 en la segunda tirada. - $A = (1_1 \cap 2_2)$: Obtener un 1 en la primera tirada y un 2 en la segunda. Analizamos las probabilidades de cada dado: - **Dado normal ($D_N$):** Tiene 6 caras iguales. $P(1 | D_N) = 1/6$ y $P(2 | D_N) = 1/6$. - **Dado trucado ($D_T$):** Tiene 4 unos y 2 doses. $P(1 | D_T) = 4/6 = 2/3$ y $P(2 | D_T) = 2/6 = 1/3$. Como las tiradas son independientes, la probabilidad de obtener la secuencia $(1, 2)$ condicionada al dado elegido es: - $P(A | D_N) = P(1 | D_N) \cdot P(2 | D_N) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ - $P(A | D_T) = P(1 | D_T) \cdot P(2 | D_T) = \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ Representamos el experimento mediante un árbol de probabilidad:

Para calcular la probabilidad total de obtener un 1 y luego un 2, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(A) = P(D_N) \cdot P(A | D_N) + P(D_T) \cdot P(A | D_T)$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$P(A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{36} + \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{36}$$ $$P(A) = \frac{1}{72} + \frac{8}{72} = \frac{9}{72}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 9: $$P(A) = \frac{1}{8} = 0.125$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad total es la suma de las probabilidades de todas las ramas del árbol que terminan en el suceso deseado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A) = 0.125}$$

**b) Sabiendo que el resultado de la primera tirada ha sido un 1 y el de la segunda ha sido un 2, calcula la probabilidad de que se haya escogido el dado trucado.** Nos piden la probabilidad de haber elegido el dado trucado dado que ha ocurrido el suceso $A$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(D_T | A) = \frac{P(D_T \cap A)}{P(A)} = \frac{P(D_T) \cdot P(A | D_T)}{P(A)}$$ Ya conocemos todos los valores del apartado anterior: - $P(D_T) = 1/2$ - $P(A | D_T) = 8/36$ - $P(A) = 9/72$ Calculamos el numerador: $$P(D_T \cap A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{36} = \frac{8}{72}$$ Ahora calculamos la probabilidad condicionada: $$P(D_T | A) = \frac{\frac{8}{72}}{\frac{9}{72}} = \frac{8}{9}$$ En valor decimal: $$P(D_T | A) \approx 0.8889$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para "actualizar" la probabilidad de una causa (dado elegido) una vez conocido el efecto (resultado de las tiradas). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D_T | A) = \frac{8}{9} \approx 0.8889}$$