Área entre dos parábolas

Para delimitar el recinto, primero debemos encontrar los puntos donde ambas parábolas se intersectan. Igualamos las ecuaciones: $$2x^2 - 4x + 3 = x^2 - 2x + 3$$ Simplificamos la ecuación restando los términos de la derecha en ambos miembros: $$2x^2 - x^2 - 4x + 2x + 3 - 3 = 0$$ $$x^2 - 2x = 0$$ Factorizamos para hallar las raíces: $$x(x - 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: - $x = 0$ - $x = 2$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ nos indican los límites de integración $a$ y $b$ para el cálculo del área. Los puntos de intersección son **$x = 0$** y **$x = 2$**.

Para saber qué función está por encima de la otra en el intervalo $(0, 2)$, evaluamos un punto intermedio, por ejemplo $x = 1$: - Para $f(x) = 2x^2 - 4x + 3 \implies f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1$ - Para $g(x) = x^2 - 2x + 3 \implies g(1) = (1)^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$ Como $g(1) \gt f(1)$, la parábola **$y = x^2 - 2x + 3$ queda por encima** de $y = 2x^2 - 4x + 3$ en el intervalo de integración. La función diferencia que integraremos será: $$h(x) = g(x) - f(x) = (x^2 - 2x + 3) - (2x^2 - 4x + 3)$$ $$h(x) = -x^2 + 2x$$ 💡 **Tip:** El área siempre es la integral de la función 'techo' menos la función 'suelo' para asegurar un resultado positivo.

El área $A$ del recinto se calcula mediante la integral definida entre los puntos de corte: $$A = \int_{0}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (-x^2 + 2x) \, dx = -\frac{x^3}{3} + x^2$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{0}^{2}$$ Sustituimos los límites: $$A = \left( -\frac{2^3}{3} + 2^2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 0^2 \right)$$ $$A = \left( -\frac{8}{3} + 4 \right) - 0$$ Operamos para obtener el valor final: $$A = -\frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{4}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las unidades de área se expresan como $u^2$ (unidades cuadradas). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{4}{3} \approx 1,33 \text{ u}^2}$$