Cálculo de una integral indefinida por partes

**Calcula $\int (x^2 + 1) e^{x+1} dx$, explicando el método utilizado.** El método utilizado es el de **integración por partes**. Este método se basa en la fórmula: $$\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du$$ Se aplica cuando tenemos un producto de funciones de distinta naturaleza, en este caso, un polinomio y una función exponencial. Elegimos las partes siguiendo la regla mnemotécnica **ALPES**: - $u = x^2 + 1 \implies du = 2x \, dx$ - $dv = e^{x+1} \, dx \implies v = \int e^{x+1} \, dx = e^{x+1}$ Aplicamos la fórmula por primera vez: $$I = (x^2 + 1) e^{x+1} - \int 2x e^{x+1} \, dx$$ Extraemos la constante fuera de la integral: $$I = (x^2 + 1) e^{x+1} - 2 \int x e^{x+1} \, dx$$ 💡 **Tip:** Para elegir $u$, recuerda el orden de prioridad ALPES: Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos. Aquí el polinomio $x^2+1$ tiene prioridad sobre la exponencial para ser $u$.

Para resolver la integral restante, $\int x e^{x+1} \, dx$, volvemos a aplicar el método de **integración por partes**. Elegimos de nuevo las partes: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = e^{x+1} \, dx \implies v = e^{x+1}$ Sustituimos en la integral parcial: $$\int x e^{x+1} \, dx = x e^{x+1} - \int e^{x+1} \, dx$$ $$\int x e^{x+1} \, dx = x e^{x+1} - e^{x+1}$$ 💡 **Tip:** Cuando el polinomio es de grado $n$, normalmente hay que aplicar el método de integración por partes $n$ veces para reducir el grado del polinomio hasta que desaparezca.

Ahora sustituimos el resultado de la integral parcial en la expresión general obtenida en el primer paso: $$I = (x^2 + 1) e^{x+1} - 2 \left( x e^{x+1} - e^{x+1} \right) + C$$ Desarrollamos el paréntesis: $$I = (x^2 + 1) e^{x+1} - 2x e^{x+1} + 2e^{x+1} + C$$ Para dar la solución de la forma más elegante posible, sacamos factor común $e^{x+1}$: $$I = (x^2 + 1 - 2x + 2) e^{x+1} + C$$ $$I = (x^2 - 2x + 3) e^{x+1} + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int (x^2 + 1) e^{x+1} dx = (x^2 - 2x + 3) e^{x+1} + C}$$ 💡 **Tip:** No olvides añadir siempre la constante de integración $C$ al finalizar una integral indefinida.