Cálculo de parámetros y extremos relativos

Para resolver el ejercicio, primero identificamos las condiciones dadas sobre la función $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$. 1. **Punto de paso:** Se nos indica que $f(0) = 2$. Sustituimos en la función: $$f(0) = 0^3 + A(0)^2 + B(0) + C = 2 \implies C = 2.$$ Calculamos ahora la primera y segunda derivada de la función, ya que las necesitaremos para las condiciones de tangencia y extremos: $$f'(x) = 3x^2 + 2Ax + B$$ $$f''(x) = 6x + 2A$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la recta tangente en dicho punto, y que en los extremos relativos de funciones derivables, la primera derivada debe ser cero. $$\boxed{C = 2, \quad f'(x) = 3x^2 + 2Ax + B}$$

2. **Rectas tangentes paralelas:** Se nos dice que las rectas tangentes en $x = 1$ y $x = 3$ son paralelas. Esto significa que las pendientes en esos puntos son iguales, es decir, $f'(1) = f'(3)$. Calculamos ambas pendientes: - $f'(1) = 3(1)^2 + 2A(1) + B = 3 + 2A + B$ - $f'(3) = 3(3)^2 + 2A(3) + B = 27 + 6A + B$ Igualamos las expresiones: $$3 + 2A + B = 27 + 6A + B$$ Simplificamos restando $B$ en ambos lados: $$3 + 2A = 27 + 6A \implies 2A - 6A = 27 - 3 \implies -4A = 24$$ Por tanto: $$A = \frac{24}{-4} = -6$$ $$\boxed{A = -6}$$

3. **Extremo relativo en $x = -1$:** Si existe un extremo relativo en $x = -1$, entonces la derivada en ese punto debe ser cero: $f'(-1) = 0$. Utilizamos la expresión de $f'(x)$ con el valor de $A = -6$ ya obtenido: $$f'(x) = 3x^2 + 2(-6)x + B = 3x^2 - 12x + B$$ Sustituimos $x = -1$: $$f'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) + B = 0$$ $$3 + 12 + B = 0 \implies 15 + B = 0 \implies B = -15$$ Una vez hallados todos los parámetros, la función es: $$\boxed{f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 2}$$

**Ese extremo relativo, ¿es un máximo o un mínimo?** Para determinar la naturaleza del extremo en $x = -1$, utilizamos el criterio de la segunda derivada. Primero, actualizamos $f''(x)$ con $A = -6$: $$f''(x) = 6x + 2(-6) = 6x - 12$$ Evaluamos en $x = -1$: $$f''(-1) = 6(-1) - 12 = -6 - 12 = -18$$ Como $f''(-1) \lt 0$, la función presenta un **máximo relativo** en $x = -1$. 💡 **Tip:** Si $f'(a) = 0$ y $f''(a) \lt 0$, entonces hay un máximo relativo en $x = a$. Si $f''(a) \gt 0$, hay un mínimo relativo. $$\boxed{x = -1 \text{ es un máximo relativo}}$$

**Estudia si $f$ tiene algún otro extremo relativo y determina si son máximos o mínimos.** Los extremos relativos se encuentran resolviendo $f'(x) = 0$: $$3x^2 - 12x - 15 = 0$$ Dividimos toda la ecuación por 3 para simplificar: $$x^2 - 4x - 5 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5$ - $x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1$ (el punto ya conocido) Para determinar la naturaleza de $x = 5$, usamos la segunda derivada: $$f''(5) = 6(5) - 12 = 30 - 12 = 18$$ Como $f''(5) \gt 0$, la función presenta un **mínimo relativo** en $x = 5$. Podemos confirmar el comportamiento con una tabla de monotonía estudiando el signo de $f'(x) = 3(x+1)(x-5)$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,5) & 5 & (5,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Comportamiento} & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} & \text{Mínimo} & \text{Creciente} \end{array}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = -6, B = -15, C = 2}$$ $$\boxed{x = -1 \text{ es un máximo relativo y } x = 5 \text{ es un mínimo relativo}}$$