Estudio completo de una función racional: monotonía, asíntotas y tangente

**Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$, calcula sus asíntotas, y encuentra la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$. Haz una representación aproximada de la gráfica de la función $f$.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, primero determinamos el dominio de la función. Como el denominador $x^2 + 1$ nunca es cero para valores reales ($x^2 + 1 \ge 1$), el dominio es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$. Calculamos la derivada $f'(x)$ aplicando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(1)(x^2 + 1) - (x)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$\frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0 \implies 1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en una fracción $\frac{u}{v}$, la derivada es $\frac{u'v - uv'}{v^2}$. Aquí $u=x$ y $v=x^2+1$.

Utilizamos los puntos críticos $x = -1$ y $x = 1$ para dividir la recta real en intervalos y estudiar el signo de $f'(x)$. Como el denominador $(x^2+1)^2$ siempre es positivo, el signo de $f'(x)$ depende solo del numerador $1-x^2$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & -\\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ Analizando los signos: - En $(-\infty, -1)$, $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. - En $(-1, 1)$, $f'(x) \gt 0$, la función es **creciente**. - En $(1, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. La función tiene un **mínimo relativo** en $x = -1$ y un **máximo relativo** en $x = 1$. Calculamos sus coordenadas: $f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = -\frac{1}{2} \implies \mathbf{Mín(-1, -0.5)}$ $f(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} \implies \mathbf{Máx(1, 0.5)}$

1. **Asíntotas Verticales (AV):** No existen, ya que el denominador $x^2+1$ no se anula para ningún valor real de $x$. 2. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 + 1} = 0$$ Dado que el grado del denominador es mayor que el del numerador, el límite es $0$. Por tanto, existe una asíntota horizontal en: $$\boxed{y = 0}$$ 3. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir una asíntota horizontal hacia $\pm\infty$, **no existen asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Si el grado del polinomio del denominador es estrictamente mayor que el del numerador, la asíntota horizontal es siempre el eje $X$ ($y=0$).

La ecuación de la recta tangente en $x = a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. Calculamos la ordenada del punto: $$f(0) = \frac{0}{0^2 + 1} = 0$$ Calculamos la pendiente de la tangente (usando $f'(x)$ del paso 1): $$m = f'(0) = \frac{1 - 0^2}{(0^2 + 1)^2} = \frac{1}{1} = 1$$ Sustituyendo en la fórmula: $$y - 0 = 1(x - 0) \implies y = x$$ ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = x}$$ 💡 **Tip:** El punto de tangencia $(0,0)$ coincide con el origen de coordenadas.

Para la representación gráfica aproximada, tenemos en cuenta: - La función pasa por $(0,0)$. - Es una función impar, ya que $f(-x) = -f(x)$, por lo que es simétrica respecto al origen. - Tiene un mínimo en $(-1, -0.5)$ y un máximo en $(1, 0.5)$. - Se aproxima al eje $X$ ($y=0$) cuando $x \to \pm\infty$. - La pendiente en el origen es $1$ (recta $y=x$).