Intersección de tres planos dependientes de parámetros

**¿Existen valores de los parámetros $a$ y $b$ para los cuales los tres planos se cortan en una recta? En caso de que la respuesta sea negativa, razónala. En el caso de que la respuesta sea positiva, calcula dichos valores.** Para estudiar la posición relativa de tres planos, analizamos el sistema de ecuaciones lineales formado por sus ecuaciones: $$\begin{cases} 4x + 2y - 4z = 2 \\ x - y - z = 2 \\ x + ay + z = b \end{cases}$$ Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -4 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -4 & | & 2 \\ 1 & -1 & -1 & | & 2 \\ 1 & a & 1 & | & b \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Tres planos se cortan en una recta si y solo si el sistema es **Compatible Indeterminado con un grado de libertad**, lo que requiere que $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus para ver si el rango puede ser menor que 3: $$|A| = \begin{vmatrix} 4 & 2 & -4 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & a & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [4 \cdot (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \cdot 1 + (-4) \cdot 1 \cdot a] - [1 \cdot (-1) \cdot (-4) + a \cdot (-1) \cdot 4 + 1 \cdot 1 \cdot 2]$$ Realizamos las operaciones: $$|A| = [-4 - 2 - 4a] - [4 - 4a + 2]$$ $$|A| = (-6 - 4a) - (6 - 4a)$$ $$|A| = -6 - 4a - 6 + 4a$$ $$|A| = -12$$ Como vemos, el determinante es constante y distinto de cero: **$|A| = -12 \neq 0$** para cualquier valor de $a$. 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz de coeficientes de un sistema $3 \times 3$ es distinto de cero, el rango de la matriz es siempre 3.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Capelli** basándonos en el resultado anterior: Dado que $|A| = -12 \neq 0$, se cumple que: $$\text{rango}(A) = 3$$ $$\text{rango}(A^*) = 3$$ Como el rango es igual al número de incógnitas ($n=3$), el sistema es un **Sistema Compatible Determinado (SCD)** para cualquier valor de los parámetros $a$ y $b$. Esto significa que el sistema tiene una **solución única** $(x, y, z)$. Geométricamente, esto implica que los tres planos se cortan siempre en un **único punto**. 💡 **Tip:** Recuerda la clasificación geométrica según el rango: - $\text{rango}(A) = 3$: Se cortan en un punto. - $\text{rango}(A) = 2$: Se cortan en una recta (si $\text{rango}(A^*) = 2$) o no tienen intersección común (si $\text{rango}(A^*) = 3$).

Para que los tres planos se cortasen en una recta, el rango de la matriz $A$ debería haber sido igual a 2, lo que exigiría que su determinante fuera 0. Sin embargo, hemos demostrado que $|A| = -12$ para todo $a \in \mathbb{R}$. Por lo tanto, no existe ninguna combinación de $a$ y $b$ que permita que los planos se corten en una recta, ya que siempre se cortarán en un punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existen valores de } a \text{ y } b \text{ tales que los planos se corten en una recta.}}$$