Ecuaciones de recta y plano. Intersección perpendicular

Para obtener la ecuación de un plano $\pi$ necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y un vector normal). Del enunciado extraemos la siguiente información sobre el plano $\pi$: 1. Pasa por el punto $Q(1, 2, 3)$. 2. Se corta con la recta $r$ en el punto $P(1, -1, 2)$, por lo tanto, el punto $P$ también pertenece al plano. 3. Contiene al vector $\vec{u} = (0, 0, 2)$. Podemos definir un segundo vector director del plano usando los puntos $P$ y $Q$: $$\vec{v} = \vec{PQ} = Q - P = (1 - 1, 2 - (-1), 3 - 2) = (0, 3, 1).$$ 💡 **Tip:** Un plano queda unívocamente determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes que sean paralelos a él.

El vector normal $\vec{n}_{\pi}$ es perpendicular a los dos vectores directores del plano, $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Lo calculamos mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{v} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus o desarrollo por filas: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{i} \cdot (3 \cdot 2 - 0 \cdot 1) - \vec{j} \cdot (0 \cdot 2 - 0 \cdot 1) + \vec{k} \cdot (0 \cdot 0 - 0 \cdot 3)$$ $$\vec{n}_{\pi} = 6\vec{i} - 0\vec{j} + 0\vec{k} = (6, 0, 0)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional como vector normal: $$\vec{n}_{\pi} = (1, 0, 0)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ genera un tercero perpendicular a ambos. Si el resultado es $(k, 0, 0)$, significa que el plano es perpendicular al eje X.

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Sustituimos $\vec{n}_{\pi} = (1, 0, 0)$: $$1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z + D = 0 \implies x + D = 0.$$ Como el punto $P(1, -1, 2)$ pertenece al plano, debe cumplir su ecuación: $$1 + D = 0 \implies D = -1.$$ Por tanto, la ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{\pi: x - 1 = 0}$$

El enunciado indica que la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan **perpendicularmente** en el punto $P(1, -1, 2)$. Esto implica dos cosas: 1. El punto $P(1, -1, 2)$ pertenece a la recta $r$. 2. El vector director de la recta, $\vec{v}_r$, es paralelo al vector normal del plano, $\vec{n}_{\pi}$. Tomamos como vector director de la recta: $$\vec{v}_r = \vec{n}_{\pi} = (1, 0, 0).$$ Ahora escribimos la ecuación de la recta en forma paramétrica: $$\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -1 \\ z = 2 \end{cases}$$ O en forma continua: $$\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{0} = \frac{z-2}{0}$$ (Nota: las divisiones por cero en la forma continua son una notación que indica que esas coordenadas son constantes). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -1 \\ z = 2 \end{cases} \quad ; \quad \pi: x = 1}$$