Resolución de un sistema de ecuaciones matriciales

**Calcula las dos matrices $A$ y $B$ que satisfacen las siguientes igualdades:** Nos encontramos ante un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas matriciales, $A$ y $B$. El procedimiento es análogo al de un sistema de ecuaciones lineales numéricas. Utilizaremos el **método de reducción** para eliminar una de las incógnitas. Llamamos a las ecuaciones: 1) $A + B = M_1$ 2) $3A - 2B = M_2$ Donde: $M_1 = \begin{pmatrix} 2 & 8 & 2 & 9 \\ 2 & 6 & 2 & 11 \end{pmatrix}$ y $M_2 = \begin{pmatrix} 6 & -16 & 6 & -3 \\ -4 & 18 & -4 & 18 \end{pmatrix}$. Para eliminar $B$, multiplicamos la primera ecuación por $2$: $$2(A + B) = 2 M_1 \implies 2A + 2B = \begin{pmatrix} 4 & 16 & 4 & 18 \\ 4 & 12 & 4 & 22 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar un número por una matriz, se multiplica cada uno de los elementos de la matriz por dicho número.

Sumamos la ecuación resultante ($2A + 2B$) con la segunda ecuación original ($3A - 2B$) para eliminar la matriz $B$: $$(2A + 2B) + (3A - 2B) = \begin{pmatrix} 4 & 16 & 4 & 18 \\ 4 & 12 & 4 & 22 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & -16 & 6 & -3 \\ -4 & 18 & -4 & 18 \end{pmatrix}$$ Operando miembro a miembro: $$5A = \begin{pmatrix} 4+6 & 16-16 & 4+6 & 18-3 \\ 4-4 & 12+18 & 4-4 & 22+18 \end{pmatrix}$$ $$5A = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 10 & 15 \\ 0 & 30 & 0 & 40 \end{pmatrix}$$ Ahora despejamos $A$ dividiendo toda la matriz entre $5$: $$A = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 10 & 0 & 10 & 15 \\ 0 & 30 & 0 & 40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & 0 & 8 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $B$, utilizamos la ecuación más sencilla del sistema original, que es $A + B = M_1$. Despejamos $B$: $$B = M_1 - A$$ Sustituimos los valores de $M_1$ y la matriz $A$ que acabamos de calcular: $$B = \begin{pmatrix} 2 & 8 & 2 & 9 \\ 2 & 6 & 2 & 11 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$ Restamos los elementos correspondientes de cada posición: $$B = \begin{pmatrix} 2-2 & 8-0 & 2-2 & 9-3 \\ 2-0 & 6-6 & 2-0 & 11-8 \end{pmatrix}$$ $$B = \begin{pmatrix} 0 & 8 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para restar matrices, estas deben tener la misma dimensión y se restan término a término. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{B = \begin{pmatrix} 0 & 8 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}}$$