Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**Discute su compatibilidad en función de los valores del parámetro $\alpha$. Resuelve el sistema para $\alpha = 0$, si es posible.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A|B$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & \alpha \\ 2 & \alpha & 1 \\ 3 & \alpha & 1 \end{pmatrix}; \quad A|B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & \alpha & | & 0 \\ 2 & \alpha & 1 & | & 1 \\ 3 & \alpha & 1 & | & \alpha - 1 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, analizando los rangos de ambas matrices según el valor de $\alpha$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus o propiedades de los determinantes: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 1 & \alpha \\ 2 & \alpha & 1 \\ 3 & \alpha & 1 \end{vmatrix}$$ Observamos que las filas 2 y 3 son muy similares. Aplicamos la propiedad $F_3 \to F_3 - F_2$: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 1 & \alpha \\ 2 & \alpha & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila: $$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & \alpha \\ \alpha & 1 \end{vmatrix} = 1 - \alpha^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$1 - \alpha^2 = 0 \implies \alpha^2 = 1 \implies \alpha = 1, \quad \alpha = -1$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que si $rg(A) = rg(A|B) = n$ (nº de incógnitas), el sistema es compatible determinado.

Si $\alpha \neq 1$ y $\alpha \neq -1$: El determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$), por lo tanto el rango de la matriz $A$ es máximo: $$rg(A) = 3$$ Como el rango de la matriz ampliada no puede superar 3 y ya contiene a $A$: $$rg(A|B) = 3$$ Al ser $rg(A) = rg(A|B) = 3$ e igual al número de incógnitas: $$\boxed{\text{Si } \alpha \neq \pm 1, \text{ el sistema es Compatible Determinado (S.C.D.)}}$$

Si **$\alpha = 1$**, las matrices quedan: $$A|B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 1 & 1 & | & 1 \\ 3 & 1 & 1 & | & 0 \end{pmatrix}$$ Como $F_1 = F_3$, el rango de $A$ es el mismo que el de la submatriz $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, cuyo determinante es $3-2=1 \neq 0$. Por tanto, $rg(A) = 2$. En la matriz ampliada $A|B$, al ser $F_1 = F_3$, cualquier determinante de orden 3 que incluya a ambas será cero. Estudiando el resto de columnas, vemos que no hay ningún menor de orden 3 no nulo. Por tanto, $rg(A|B) = 2$. Como $rg(A) = rg(A|B) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas): $$\boxed{\text{Si } \alpha = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (S.C.I.)}}$$

Si **$\alpha = -1$**, las matrices son: $$A|B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 & | & 0 \\ 2 & -1 & 1 & | & 1 \\ 3 & -1 & 1 & | & -2 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, y el menor $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -3-2 = -5 \neq 0$, por lo que $rg(A) = 2$. Analizamos el rango de $A|B$ tomando un menor de orden 3 con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 3(2+1) - 1(-4-3) + 0 = 9 + 7 = 16 \neq 0$$ Al existir un menor de orden 3 no nulo, $rg(A|B) = 3$. Como $rg(A) \neq rg(A|B)$: $$\boxed{\text{Si } \alpha = -1, \text{ el sistema es Incompatible (S.I.)}}$$

Para $\alpha = 0$, el sistema es Compatible Determinado. Sustituimos el valor en el sistema original: $$ \begin{cases} 3x + y = 0 \quad (1) \\ 2x + z = 1 \quad (2) \\ 3x + z = -1 \quad (3) \end{cases} $$ Restamos la ecuación (2) a la ecuación (3) para eliminar la $z$: $$(3x + z) - (2x + z) = -1 - 1 \implies x = -2$$ Sustituimos $x = -2$ en la ecuación (1): $$3(-2) + y = 0 \implies -6 + y = 0 \implies y = 6$$ Sustituimos $x = -2$ en la ecuación (2): $$2(-2) + z = 1 \implies -4 + z = 1 \implies z = 5$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar la solución en las tres ecuaciones para asegurar que no ha habido errores de cálculo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = -2, \quad y = 6, \quad z = 5}$$ (Solución única)