Área entre una función de cuarto grado y una parábola

**P8) Encuentra los dos puntos en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones: $f(x) = 2 - 2x^2$ y $g(x) = x^4 - x^2$. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas. (2,5 puntos)** Para encontrar los puntos de corte entre dos funciones, debemos igualar sus expresiones: $$f(x) = g(x) \implies 2 - 2x^2 = x^4 - x^2$$ Reordenamos los términos para obtener una ecuación polinómica igualada a cero: $$x^4 - x^2 + 2x^2 - 2 = 0$$ $$x^4 + x^2 - 2 = 0$$ 💡 **Tip:** Al igualar funciones, buscamos los valores de $x$ donde ambas gráficas comparten la misma coordenada $y$.

La ecuación $x^4 + x^2 - 2 = 0$ es una ecuación bicuadrada. Realizamos el cambio de variable $t = x^2$, de modo que $t^2 = x^4$: $$t^2 + t - 2 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos posibles valores para $t$: 1. $t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$ 2. $t_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$ Deshacemos el cambio de variable: - Para $t_1 = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. - Para $t_2 = -2 \implies x^2 = -2$, lo cual **no tiene solución real**. Por tanto, los valores de abscisa donde se cortan son $x = -1$ y $x = 1$. 💡 **Tip:** Recuerda que $x^2$ nunca puede ser negativo en el conjunto de los números reales.

Calculamos la coordenada $y$ para cada punto sustituyendo en cualquiera de las funciones originales (por ejemplo, en $f(x)$): - Si $x = 1 \implies y = f(1) = 2 - 2(1)^2 = 0$. - Si $x = -1 \implies y = f(-1) = 2 - 2(-1)^2 = 0$. Los puntos de corte son: $$\boxed{P_1(-1, 0) \quad \text{y} \quad P_2(1, 0)}$$

El área encerrada entre dos funciones se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones en el intervalo limitado por los puntos de corte: $$\text{Área} = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$$ Evaluamos cuál función está por encima en el intervalo $(-1, 1)$ tomando un punto intermedio, por ejemplo $x = 0$: - $f(0) = 2 - 2(0)^2 = 2$ - $g(0) = 0^4 - 0^2 = 0$ Como $f(0) \gt g(0)$, la función $f(x)$ es la superior en dicho intervalo. El planteamiento es: $$\text{Área} = \int_{-1}^{1} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{-1}^{1} [ (2 - 2x^2) - (x^4 - x^2) ] \, dx$$ $$\text{Área} = \int_{-1}^{1} (2 - x^2 - x^4) \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre resta la función "techo" menos la función "suelo" para que el resultado del área sea positivo automáticamente.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (2 - x^2 - x^4) \, dx = 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}$$ Aplicamos la **regla de Barrow** entre los límites $-1$ y $1$: $$\text{Área} = \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1}$$ $$\text{Área} = \left( 2(1) - \frac{1^3}{3} - \frac{1^5}{5} \right) - \left( 2(-1) - \frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^5}{5} \right)$$ $$\text{Área} = \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) - \left( -2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right)$$ $$\text{Área} = \left( \frac{30 - 5 - 3}{15} \right) - \left( \frac{-30 + 5 + 3}{15} \right)$$ $$\text{Área} = \frac{22}{15} - \left( -\frac{22}{15} \right) = \frac{44}{15} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{44}{15} \approx 2,933 \text{ u}^2}$$