Continuidad y Teorema de Bolzano

**a) Demuestra que es continua en $\mathbb{R}$ (0,5 puntos)** Para demostrar que $f(x) = (x + 1) \sin(\pi x)$ es continua en todo el conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$), analizamos las funciones que la componen: 1. Sea $g(x) = x + 1$. Es una función polinómica de primer grado, y sabemos que todos los polinomios son continuos en todo $\mathbb{R}$. 2. Sea $h(x) = \sin(\pi x)$. Esta es una función trigonométrica compuesta. La función seno es continua en $\mathbb{R}$, y el argumento $\pi x$ es un polinomio, por lo que su composición también es continua en $\mathbb{R}$. La función $f(x)$ es el **producto de dos funciones continuas** ($g(x)$ y $h(x)$). Una de las propiedades fundamentales de la continuidad establece que el producto de funciones continuas en un intervalo es también una función continua en dicho intervalo. Por tanto, $f(x)$ es continua en $\mathbb{R}$. 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones elementales (polinómicas, exponenciales, senos y cosenos) son continuas en todo su dominio. El producto, suma y composición de estas funciones preservan la continuidad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R}}$$

**b) Comprueba que existe un valor $\alpha \in (0, 1)$ tal que $f(\alpha) = \frac{3}{4}$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (2 puntos)** Para resolver este apartado utilizaremos el **Teorema de Bolzano**, que es un caso particular del Teorema de los Valores Intermedios (o de Darboux). **Teorema de Bolzano:** Si una función $g(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y el signo de la función en los extremos es distinto ($g(a) \cdot g(b) \lt 0$), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $g(c) = 0$. En nuestro caso, queremos demostrar que $f(x) = \frac{3}{4}$ tiene solución. Esto es equivalente a encontrar una raíz para la función auxiliar: $$g(x) = f(x) - \frac{3}{4} = (x + 1) \sin(\pi x) - \frac{3}{4}$$ 💡 **Tip:** Siempre que te pidan demostrar que una función alcanza un valor específico $k$, define una nueva función $g(x) = f(x) - k$ y aplica Bolzano para encontrar un cero.

Para aplicar el teorema a $g(x) = (x + 1) \sin(\pi x) - \frac{3}{4}$ en el intervalo $(0, 1)$, primero verificamos la continuidad: - Como vimos en el apartado anterior, $f(x)$ es continua en $\mathbb{R}$, por lo que $g(x)$ (que es $f(x)$ menos una constante) también es continua en el intervalo cerrado $[0, 1]$. Ahora evaluamos $g(x)$ en los extremos del intervalo $(0, 1)$: - Para $x = 0$: $$g(0) = (0 + 1) \sin(0) - \frac{3}{4} = 1 \cdot 0 - \frac{3}{4} = -\frac{3}{4} \lt 0$$ - Para $x = 1$: $$g(1) = (1 + 1) \sin(\pi) - \frac{3}{4} = 2 \cdot 0 - \frac{3}{4} = -\frac{3}{4} \lt 0$$ Como en ambos extremos el valor es negativo, el intervalo $[0, 1]$ no nos sirve directamente para Bolzano. Necesitamos encontrar un punto intermedio dentro de $(0, 1)$ donde la función sea positiva. Probemos con $x = \frac{1}{2}$: - Para $x = \frac{1}{2}$: $$g\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2} + 1\right) \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \cdot 1 - \frac{3}{4} = \frac{6}{4} - \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \gt 0$$ 💡 **Tip:** Si los extremos del intervalo sugerido no tienen signos opuestos, busca un valor sencillo en el interior (como el punto medio) para dividir el intervalo.

Hemos encontrado que en el subintervalo $\left[0, \frac{1}{2}\right]$: 1. $g(x)$ es continua por ser suma y producto de funciones continuas. 2. $g(0) = -\frac{3}{4} \lt 0$. 3. $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4} \gt 0$. Al cumplirse las hipótesis del **Teorema de Bolzano**, existe al menos un valor $\alpha \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$ tal que $g(\alpha) = 0$. Como $\left(0, \frac{1}{2}\right) \subset (0, 1)$, dicho valor $\alpha$ pertenece al intervalo $(0, 1)$ solicitado. Sustituyendo en la definición de $g(x)$: $$g(\alpha) = 0 \implies f(\alpha) - \frac{3}{4} = 0 \implies f(\alpha) = \frac{3}{4}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Queda demostrado por el T. de Bolzano que } \exists \alpha \in (0, 1) : f(\alpha) = \frac{3}{4}}$$ Podemos visualizar la función y el valor objetivo en la siguiente gráfica: