Estudio de la continuidad de una función a trozos

Para estudiar la continuidad de una función definida a trozos, primero analizamos cada una de las ramas por separado en sus respectivos dominios de definición. **Rama 1: $x \lt 1$** La función es $f(x) = \frac{\cos^2(\pi x) - 1}{1 - x}$. Es un cociente de una función trigonométrica y una polinómica. El denominador se anula en $x=1$, pero como este intervalo es para $x \lt 1$, la función es continua en $(-\infty, 1)$. **Rama 2: $x \ge 1$** La función es $f(x) = \ln (x \cdot e^{x+1}) - 2x$. El argumento del logaritmo es $g(x) = x \cdot e^{x+1}$. Para $x \ge 1$, el término $x$ es positivo y $e^{x+1}$ siempre es positivo, por lo que el argumento es siempre mayor que cero. Al ser composición y suma de funciones continuas (logarítmica, exponencial y polinómica), la función es continua en $(1, +\infty)$. 💡 **Tip:** Una función es continua si lo es en cada una de sus ramas y en los puntos donde cambia la definición.

Para que la función sea continua en $x=1$, deben coincidir el valor de la función, el límite por la izquierda y el límite por la derecha. 1) **Valor de la función en $x=1$:** Usamos la segunda rama ($x \ge 1$): $$f(1) = \ln (1 \cdot e^{1+1}) - 2(1) = \ln(e^2) - 2$$ Utilizando las propiedades de los logaritmos ($\ln(e^a) = a$): $$f(1) = 2 - 2 = 0$$ 2) **Límite por la derecha ($x \to 1^+$):** Usamos la misma expresión que para el valor de la función: $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} [\ln (x \cdot e^{x+1}) - 2x] = 0$$ $$\boxed{f(1) = 0, \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0}$$

3) **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** Usamos la primera rama: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{\cos^2(\pi x) - 1}{1 - x}$$ Al evaluar en $x=1$: $$\frac{\cos^2(\pi) - 1}{1 - 1} = \frac{(-1)^2 - 1}{0} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, por lo que aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: - Derivada del numerador: $[\cos^2(\pi x) - 1]' = 2\cos(\pi x) \cdot (-\sin(\pi x)) \cdot \pi = -2\pi \cos(\pi x) \sin(\pi x)$ - Derivada del denominador: $[1 - x]' = -1$ Calculamos el límite de las derivadas: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{-2\pi \cos(\pi x) \sin(\pi x)}{-1} = \lim_{x \to 1^-} 2\pi \cos(\pi x) \sin(\pi x)$$ Sustituimos $x=1$: $$2\pi \cos(\pi) \sin(\pi) = 2\pi \cdot (-1) \cdot 0 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar L'Hôpital debemos verificar que tenemos una indeterminación $0/0$ o $\infty/\infty$. $$\boxed{\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0}$$

Para terminar, comparamos los resultados obtenidos en el punto $x=1$: $$\left. \begin{array}{l} f(1) = 0 \\ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 \\ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 0 \end{array} \right\} \implies \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 0$$ Como los límites laterales coinciden con el valor de la función en el punto, la función es **continua en $x=1$**. Dado que ya habíamos comprobado que era continua en el resto de intervalos de $\mathbb{R}$: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{La función } f(x) \text{ es continua en todo } \mathbb{R}}$$