Cálculo de integrales indefinidas

**a) $\int \frac{2x - 5}{x^2 + x - 2} dx$ (1,25 puntos)** Estamos ante una integral racional donde el grado del numerador es menor que el del denominador. El primer paso es factorizar el denominador $x^2 + x - 2$. Resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2 + x - 2 = 0$: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Las raíces son: $$x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2$$ Por tanto, el denominador factoriza como: $$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$$ 💡 **Tip:** Si el grado del numerador fuera mayor o igual al del denominador, primero tendríamos que realizar la división de polinomios.

Descomponemos la fracción en una suma de fracciones simples con coeficientes $A$ y $B$ por determinar: $$\frac{2x - 5}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$$ Para hallar $A$ y $B$, igualamos los numeradores: $$2x - 5 = A(x + 2) + B(x - 1)$$ Calculamos los valores de $A$ y $B$ dando valores a $x$ (usualmente sus raíces): - Si $x = 1$: $$2(1) - 5 = A(1 + 2) \implies -3 = 3A \implies \mathbf{A = -1}$$ - Si $x = -2$: $$2(-2) - 5 = B(-2 - 1) \implies -9 = -3B \implies \mathbf{B = 3}$$ La fracción queda: $$\frac{2x - 5}{x^2 + x - 2} = \frac{-1}{x - 1} + \frac{3}{x + 2}$$

Sustituimos la descomposición en la integral y aplicamos la linealidad: $$\int \frac{2x - 5}{x^2 + x - 2} dx = \int \left( \frac{-1}{x - 1} + \frac{3}{x + 2} \right) dx = -\int \frac{1}{x - 1} dx + 3\int \frac{1}{x + 2} dx$$ Ambas integrales son de tipo logarítmico inmediato: $$\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C$$ Obtenemos: $$- \ln|x - 1| + 3 \ln|x + 2| + C$$ Opcionalmente, usando las propiedades de los logaritmos: $n \ln a = \ln a^n$ y $\ln a - \ln b = \ln(a/b)$: $$\ln|x + 2|^3 - \ln|x - 1| + C = \ln \left| \frac{(x + 2)^3}{x - 1} \right| + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{2x - 5}{x^2 + x - 2} dx = -\ln|x-1| + 3\ln|x+2| + C}$$

**b) $\int x \ln x dx$ (1,25 puntos)** Esta integral consiste en el producto de una función polinómica ($x$) y una función logarítmica ($\ln x$). Utilizaremos el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica **ALPES** para elegir $u$: **A**rcos, **L**ogaritmos, **P**olinomios, **E**xponenciales, **S**enos/Cosenos. Como hay un logaritmo, elegimos $u = \ln x$. Definimos los elementos de la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: - $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} dx$ - $dv = x \, dx \implies v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$

Sustituimos en la fórmula de integración por partes: $$\int x \ln x dx = (\ln x) \cdot \left( \frac{x^2}{2} \right) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$$ Simplificamos la expresión dentro de la integral: $$\frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} dx$$ Calculamos la integral restante, que es inmediata: $$\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} \right) + C$$ $$\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$$ Podemos sacar factor común para presentar el resultado más elegante: $$\frac{x^2}{2} \left( \ln x - \frac{1}{2} \right) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C}$$