Distancia mínima de un punto a una recta y puntos a una distancia dada

**a) Calcula el punto $Q \in r$ tal que la distancia de $P$ a $Q$ sea mínima.** El punto $Q$ de la recta $r$ que minimiza la distancia al punto $P$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$. Primero, extraemos el punto de referencia y el vector director de la recta $r$ a partir de su ecuación continua: Recta $r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 4}{2}$ - Vector director: $\vec{v_r} = (2, 1, 2)$ - Punto de la recta: $R(1, 2, -4)$ Escribimos la recta en su forma paramétrica para expresar cualquier punto genérico $Q \in r$ en función de un parámetro $\lambda$: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = -4 + 2\lambda \end{cases}$$ Cualquier punto $Q$ de la recta tiene la forma $Q(1 + 2\lambda, 2 + \lambda, -4 + 2\lambda)$. 💡 **Tip:** Un punto genérico en una recta permite convertir un problema geométrico en un problema algebraico de una sola variable.

Para que la distancia entre $P(1, 5, -1)$ y $Q$ sea mínima, el vector $\vec{PQ}$ debe ser perpendicular al vector director de la recta $\vec{v_r}$. Calculamos el vector $\vec{PQ}$: $$\vec{PQ} = Q - P = (1 + 2\lambda - 1, \, 2 + \lambda - 5, \, -4 + 2\lambda - (-1))$$ $$\vec{PQ} = (2\lambda, \, \lambda - 3, \, 2\lambda - 3)$$ Imponemos la condición de perpendicularidad (producto escalar igual a cero): $$\vec{PQ} \cdot \vec{v_r} = 0$$ $$(2\lambda, \, \lambda - 3, \, 2\lambda - 3) \cdot (2, 1, 2) = 0$$ Desarrollamos la ecuación: $$2(2\lambda) + 1(\lambda - 3) + 2(2\lambda - 3) = 0$$ $$4\lambda + \lambda - 3 + 4\lambda - 6 = 0$$ $$9\lambda - 9 = 0 \implies \lambda = 1$$ Sustituimos $\lambda = 1$ en las coordenadas de $Q$: $$Q = (1 + 2(1), \, 2 + 1, \, -4 + 2(1)) = (3, 3, -2)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q(3, 3, -2)}$$

**b) Halla los puntos $Q_1$ y $Q_2$ pertenecientes a $r$ tales que $d(P, Q_1) = d(P, Q_2) = 3\sqrt{2}$.** Buscamos puntos $Q$ en la recta $r$ tales que la distancia al punto $P(1, 5, -1)$ sea exactamente $3\sqrt{2}$. Utilizamos la expresión del vector $\vec{PQ}$ calculada anteriormente: $$\vec{PQ} = (2\lambda, \, \lambda - 3, \, 2\lambda - 3)$$ La distancia es el módulo de dicho vector: $$d(P, Q) = |\vec{PQ}| = \sqrt{(2\lambda)^2 + (\lambda - 3)^2 + (2\lambda - 3)^2} = 3\sqrt{2}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz: $$(2\lambda)^2 + (\lambda - 3)^2 + (2\lambda - 3)^2 = (3\sqrt{2})^2$$ $$4\lambda^2 + (\lambda^2 - 6\lambda + 9) + (4\lambda^2 - 12\lambda + 9) = 18$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Agrupamos los términos de la ecuación: $$9\lambda^2 - 18\lambda + 18 = 18$$ Simplificamos restando 18 en ambos lados: $$9\lambda^2 - 18\lambda = 0$$ Dividimos por 9: $$\lambda^2 - 2\lambda = 0$$ Factorizamos para hallar las raíces: $$\lambda(\lambda - 2) = 0$$ Obtenemos dos valores para el parámetro: 1. $\lambda_1 = 0$ 2. $\lambda_2 = 2$ Estos dos valores corresponden a los dos puntos buscados, que estarán situados simétricamente respecto al punto $Q$ hallado en el apartado anterior.

Sustituimos los valores de $\lambda$ en la ecuación paramétrica de la recta: **Para $\lambda_1 = 0$:** $$Q_1 = (1 + 2(0), \, 2 + 0, \, -4 + 2(0)) = (1, 2, -4)$$ **Para $\lambda_2 = 2$:** $$Q_2 = (1 + 2(2), \, 2 + 2, \, -4 + 2(2)) = (5, 4, 0)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q_1(1, 2, -4) \quad y \quad Q_2(5, 4, 0)}$$