Recta perpendicular común a dos rectas

La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Para trabajar con ella, necesitamos su vector director $\vec{v_r}$ y un punto $P_r$. El vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales a los planos: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v_r} = [(-1) \cdot 3 - (-1) \cdot (-3)]\mathbf{i} - [1 \cdot 3 - (-1) \cdot 1]\mathbf{j} + [1 \cdot (-3) - (-1) \cdot 1]\mathbf{k}$$ $$\vec{v_r} = (-3 - 3)\mathbf{i} - (3 + 1)\mathbf{j} + (-3 + 1)\mathbf{k} = (-6, -4, -2)$$ Podemos simplificar el vector (usando uno proporcional) dividiendo entre $-2$: $$\vec{v_r} = (3, 2, 1)$$ Para el punto $P_r$, fijamos una coordenada, por ejemplo $z = 0$: $$\begin{cases} x - y = -2 \\ x - 3y = 8 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(x - y) - (x - 3y) = -2 - 8 \implies 2y = -10 \implies y = -5$. Sustituyendo en la primera: $x - (-5) = -2 \implies x = -7$. $$\boxed{P_r(-7, -5, 0), \quad \vec{v_r}(3, 2, 1)}$$

La recta $s$ está en forma continua, por lo que podemos extraer sus elementos directamente: $$s \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 5}{-4} = \frac{z - 0}{-2}$$ El punto $P_s$ es $(2, -5, 0)$ y el vector director $\vec{v_s}$ es $(3, -4, -2)$. $$\boxed{P_s(2, -5, 0), \quad \vec{v_s}(3, -4, -2)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Para saber cómo hallar la perpendicular común, primero determinamos si las rectas se cruzan o se cortan. Calculamos el vector $\vec{P_rP_s}$: $$\vec{P_rP_s} = (2 - (-7), -5 - (-5), 0 - 0) = (9, 0, 0)$$ Calculamos el determinante formado por los tres vectores: $$\det(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_rP_s}) = \begin{vmatrix} 3 & 3 & 9 \\ 2 & -4 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera columna: $$\det = 9 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 9 \cdot [2(-2) - (-4)(1)] = 9 \cdot (-4 + 4) = 0$$ Como el determinante es $0$ y los vectores $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$ no son proporcionales, las rectas **se cortan en un punto**. 💡 **Tip:** Si el determinante es nulo y los vectores directores son independientes, las rectas son secantes (se cortan en un punto).

Escribimos las rectas en paramétricas para hallar el punto de corte $I$. $$r \equiv \begin{cases} x = -7 + 3\lambda \\ y = -5 + 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad s \equiv \begin{cases} x = 2 + 3\mu \\ y = -5 - 4\mu \\ z = -2\mu \end{cases}$$ Igualamos las coordenadas: 1) $-7 + 3\lambda = 2 + 3\mu$ 2) $-5 + 2\lambda = -5 - 4\mu \implies 2\lambda = -4\mu \implies \lambda = -2\mu$ Sustituimos $\lambda$ en la primera: $$-7 + 3(-2\mu) = 2 + 3\mu \implies -7 - 6\mu = 2 + 3\mu \implies -9 = 9\mu \implies \mu = -1$$ Si $\mu = -1$, entonces $\lambda = -2(-1) = 2$. Sustituyendo $\lambda=2$ en $r$: $$x = -7 + 3(2) = -1, \quad y = -5 + 2(2) = -1, \quad z = 2$$ El punto de intersección es $I(-1, -1, 2)$. $$\boxed{I(-1, -1, 2)}$$

La recta buscada $t$ debe ser perpendicular a $\vec{v_r}$ y a $\vec{v_s}$. Su vector director $\vec{v_t}$ será el producto vectorial de ambos: $$\vec{v_t} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ 3 & -4 & -2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_t} = [2(-2) - 1(-4)]\mathbf{i} - [3(-2) - 1(3)]\mathbf{j} + [3(-4) - 2(3)]\mathbf{k}$$ $$\vec{v_t} = (-4 + 4)\mathbf{i} - (-6 - 3)\mathbf{j} + (-12 - 6)\mathbf{k} = (0, 9, -18)$$ Podemos simplificar el vector dividiendo por $9$: $$\vec{v_t} = (0, 1, -2)$$ $$\boxed{\vec{v_t}(0, 1, -2)}$$

La recta $t$ pasa por el punto de intersección $I(-1, -1, 2)$ (ya que corta a ambas) y tiene la dirección $\vec{v_t}(0, 1, -2)$. Su ecuación continua es: $$\frac{x - (-1)}{0} = \frac{y - (-1)}{1} = \frac{z - 2}{-2}$$ Aunque aparezca un cero en el denominador (notación simbólica habitual en geometría), la expresión es correcta para definir la recta. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{x + 1}{0} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{-2}}$$