Rango del producto de matrices con parámetros

Para que el rango de una matriz cuadrada de orden 3 sea máximo, dicho rango debe ser igual a 3. Esto ocurre si y solo si su determinante es distinto de cero. En lugar de calcular el producto de las matrices $A \cdot B$, que resultaría en una matriz con expresiones complejas, utilizaremos la propiedad de los determinantes: $$|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$$ El rango de $A \cdot B$ será máximo (igual a 3) cuando $|A \cdot B| \neq 0$. Por tanto, calcularemos los determinantes de $A$ y $B$ por separado y buscaremos los valores de $t$ que no anulan ninguno de los dos. 💡 **Tip:** Recuerda que para cualquier par de matrices cuadradas del mismo orden, el determinante del producto es el producto de los determinantes.

Calculamos $|A|$ desarrollando por la primera fila, ya que contiene dos ceros: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & t - 1 \\ 1 & t & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (-1) \cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & t \end{vmatrix} = (-1) \cdot (0 \cdot t - 1 \cdot 1) = (-1) \cdot (-1) = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$ para cualquier valor de $t$, el rango de la matriz $A$ es siempre 3. Esto simplifica el problema, ya que el rango de $A \cdot B$ dependerá exclusivamente del determinante de $B$. $$\boxed{|A| = 1}$$

Calculamos $|B|$ aplicando propiedades de los determinantes para simplificar la expresión antes de desarrollar: $$|B| = \begin{vmatrix} t + 1 & 1 & t \\ 0 & t & -2t + 1 \\ t + 1 & t + 1 & -t - 1 \end{vmatrix}$$ Realizamos la operación elemental $F_3 \to F_3 - F_1$ (restar la primera fila a la tercera): $$|B| = \begin{vmatrix} t + 1 & 1 & t \\ 0 & t & -2t + 1 \\ 0 & t & -2t - 1 \end{vmatrix}$$ Ahora, restamos la segunda fila a la tercera ($F_3 \to F_3 - F_2$): $$|B| = \begin{vmatrix} t + 1 & 1 & t \\ 0 & t & -2t + 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix}$$ Al obtener una matriz triangular superior (o en este caso, una forma donde el desarrollo es directo), el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal: $$|B| = (t + 1) \cdot t \cdot (-2) = -2t(t + 1)$$ 💡 **Tip:** Utilizar operaciones elementales entre filas para hacer ceros facilita enormemente el cálculo de determinantes con parámetros.

El rango de $A \cdot B$ es máximo si $|A \cdot B| \neq 0$. Como hemos visto: $$|A \cdot B| = |A| \cdot |B| = 1 \cdot [-2t(t + 1)] = -2t(t + 1)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores que reducen el rango: $$-2t(t + 1) = 0 \implies \begin{cases} t = 0 \\ t + 1 = 0 \to t = -1 \end{cases}$$ - Si $t \neq 0$ y $t \neq -1$, entonces $|A \cdot B| \neq 0$ y el **rango es 3** (máximo). - Si $t = 0$ o $t = -1$, el determinante es 0 y el rango será menor que 3. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El rango es máximo para } t \in \mathbb{R} \setminus \{0, -1\}}$$