Sistema de ecuaciones con parámetros y raíces

Para estudiar el sistema, representamos las ecuaciones en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada. $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & 2a-1 & \sqrt{2}-2 \\ -a & a & 2a^2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 0 \\ 2 & 2a-1 & \sqrt{2}-2 & | & 2 \\ -a & a & 2a^2 & | & \sqrt{2} \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El estudio de la compatibilidad se basa en comparar el rango de la matriz $A$ y el de la matriz ampliada $A^*$ mediante el **Teorema de Rouché-Frobenius**.

Calculamos el determinante de $A$ para hallar los valores críticos del parámetro $a$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & 2a-1 & \sqrt{2}-2 \\ -a & a & 2a^2 \end{vmatrix}$$ Para simplificar el cálculo, aplicamos la propiedad de los determinantes sumando la primera columna a la segunda ($C_2 \to C_2 + C_1$): $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 2a+1 & \sqrt{2}-2 \\ -a & 0 & 2a^2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por los elementos de la segunda columna: $$|A| = (2a+1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -a & 2a^2 \end{vmatrix} = (2a+1)(2a^2 - a) = (2a+1)a(2a-1)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores que anulan el determinante: - $a = 0$ - $2a + 1 = 0 \implies a = -1/2$ - $2a - 1 = 0 \implies a = 1/2$ $$\boxed{|A| = 0 \iff a \in \{0, 1/2, -1/2\}}$$

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius**: 1. **Si $a \neq 0, a \neq 1/2$ y $a \neq -1/2$**: $|A| \neq 0 \implies \text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3$ (número de incógnitas). **Sistema Compatible Determinado (SCD)**: Tiene solución única. 2. **Si $a = 0$**: La matriz ampliada queda: $A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & \sqrt{2}-2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$. En la última fila tenemos $0 = \sqrt{2}$, lo cual es imposible. **Sistema Incompatible (SI)**. 3. **Si $a = 1/2$**: $A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & \sqrt{2}-2 & 2 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$. Observamos las filas $F_1$ y $F_3$: $F_3 = -1/2 F_1$ en los coeficientes, pero $-1/2(0) \neq \sqrt{2}$. $\text{rango}(A) = 2$ y $\text{rango}(A^*) = 3$. **Sistema Incompatible (SI)**. 4. **Si $a = -1/2$**: $A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & \sqrt{2}-2 & 2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$. Tras operar, veremos que $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2$. **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**: Infinitas soluciones.

Resolvemos para $a \notin \{0, 1/2, -1/2\}$. De la primera ecuación, $x - y = z$. Sustituimos esto en la tercera ecuación: $$-a(x-y) + 2a^2z = \sqrt{2} \implies -az + 2a^2z = \sqrt{2} \implies z(2a^2 - a) = \sqrt{2}$$ $$z = \frac{\sqrt{2}}{a(2a-1)}$$ Sustituimos $x = y + z$ en la segunda ecuación: $$2(y+z) + (2a-1)y + (\sqrt{2}-2)z = 2 \implies (2a+1)y + \sqrt{2}z = 2$$ Sustituyendo $z$: $$(2a+1)y = 2 - \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{a(2a-1)}\right) = 2 - \frac{2}{a(2a-1)} = \frac{2(2a^2-a-1)}{a(2a-1)}$$ Factorizando $2a^2-a-1 = (2a+1)(a-1)$: $$(2a+1)y = \frac{2(2a+1)(a-1)}{a(2a-1)} \implies y = \frac{2(a-1)}{a(2a-1)}$$ Finalmente, $x = y + z$: $$x = \frac{2a-2+\sqrt{2}}{a(2a-1)}$$ ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{\left( \frac{2a-2+\sqrt{2}}{2a^2-a}, \frac{2a-2}{2a^2-a}, \frac{\sqrt{2}}{2a^2-a} \right)}$$

Para $a = -1/2$, ya vimos que el sistema es SCI. Usamos las ecuaciones reducidas del paso anterior: De $z(2a^2-a) = \sqrt{2}$, con $a = -1/2$: $$z(2(1/4) - (-1/2)) = \sqrt{2} \implies z(1/2 + 1/2) = \sqrt{2} \implies z = \sqrt{2}$$ De la primera ecuación: $$x - y - \sqrt{2} = 0 \implies x = y + \sqrt{2}$$ Comprobamos en la segunda ecuación: $$2x + (-1-1)y + (\sqrt{2}-2)\sqrt{2} = 2 \implies 2x - 2y + 2 - 2\sqrt{2} = 2 \implies 2(x-y) = 2\sqrt{2} \implies x-y = \sqrt{2}$$ Llegamos a la misma relación. Parametrizamos $y = \lambda$: ✅ **Resultado (SCI):** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda + \sqrt{2}, \lambda, \sqrt{2}) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$