Puntos de corte y cálculo de área de la función x·sen(x)

**Encuentra los puntos $P$ y $Q$, y, a continuación, calcula el área de la región del plano sombreada.** Los puntos de corte con el eje $OX$ se obtienen igualando la función a cero: $f(x) = 0$. $$x \cdot \sin x = 0$$ Esta ecuación se cumple si: 1. $x = 0$ (Origen de coordenadas). 2. $\sin x = 0 \implies x = k\pi$ para cualquier entero $k$. Observando la gráfica, el primer tramo positivo de la función (por encima del eje $OX$) termina en el primer corte positivo, y la región sombreada se encuentra entre el segundo y el tercer punto de corte del semieje positivo. - El primer corte tras el origen es $x = \pi$. - El segundo corte es $x = 2\pi$. - El tercer corte es $x = 3\pi$. Según la disposición de la figura, el punto $P$ corresponde al primer valor positivo donde la función cruza el eje y el punto $Q$ al segundo: $$P = \pi, \quad Q = 2\pi$$ 💡 **Tip:** Los ceros de la función seno ocurren en todos los múltiplos de $\pi$. Dado que la función es $x \sin x$, el valor $x=0$ es una raíz doble (un extremo relativo en este caso). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \pi, \quad Q = 2\pi}$$

El área de la región sombreada es la integral definida de la función entre los límites $x = \pi$ y $x = 2\pi$. Observamos en la gráfica que en el intervalo $(\pi, 2\pi)$, la función $f(x) = x \sin x$ queda por debajo del eje $OX$ (ya que $\sin x$ es negativo en el tercer y cuarto cuadrante y $x$ es positivo). Por tanto, para obtener un área positiva, debemos integrar el valor absoluto o cambiar el signo: $$Area = \int_{\pi}^{2\pi} |x \sin x| \, dx = \int_{\pi}^{2\pi} (0 - x \sin x) \, dx = -\int_{\pi}^{2\pi} x \sin x \, dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si la función es negativa en el intervalo de integración, el área es $-\int_{a}^{b} f(x) \, dx$.

Calculamos primero la integral indefinida $\int x \sin x \, dx$ utilizando el método de **integración por partes**. Elegimos: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \sin x \, dx \implies v = -\cos x$ Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx$$ $$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx$$ $$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica **ALPES** para elegir $u$. Las funciones algebraicas ($x$) van antes que las trigonométricas ($\sin x$).

Aplicamos la Regla de Barrow a la integral del área calculada anteriormente: $$Area = -\left[ -x \cos x + \sin x \right]_{\pi}^{2\pi} = \left[ x \cos x - \sin x \right]_{\pi}^{2\pi}$$ Evaluamos en los límites: - Para $x = 2\pi$: $$2\pi \cos(2\pi) - \sin(2\pi) = 2\pi(1) - 0 = 2\pi$$ - Para $x = \pi$: $$\pi \cos(\pi) - \sin(\pi) = \pi(-1) - 0 = -\pi$$ Restamos los valores: $$Area = (2\pi) - (-\pi) = 2\pi + \pi = 3\pi$$ El área de la región sombreada es exactamente $3\pi$ unidades cuadradas (aproximadamente $9,42$ u²). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Area = 3\pi \text{ u}^2}$$