Continuidad, derivabilidad y Teorema de Rolle

**a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[7, 11]$ y derivable en $(7, 11)$. (1,25 puntos)** Para que la función $f(x) = \sqrt{g(x)}$ sea continua y derivable, el radicando $g(x)$ debe ser mayor o igual a cero para la continuidad, y estrictamente mayor que cero para asegurar la derivabilidad de la raíz (evitando el cero en el denominador de la derivada). Analizamos $g(x) = \frac{1}{2} - \sin \frac{\pi x}{6}$ en el intervalo $x \in [7, 11]$: Si $7 \le x \le 11$, entonces multiplicando por $\frac{\pi}{6}$: $$\frac{7\pi}{6} \le \frac{\pi x}{6} \le \frac{11\pi}{6}$$ En la circunferencia goniométrica, este intervalo de ángulos corresponde al tercer y cuarto cuadrante, donde la función seno toma valores entre $-1$ y $-0.5$: $$-1 \le \sin \left(\frac{\pi x}{6}\right) \le -0.5$$ Multiplicando por $-1$ (cambia el sentido de la desigualdad): $$0.5 \le -\sin \left(\frac{\pi x}{6}\right) \le 1$$ Sumamos $\frac{1}{2}$ para obtener el radicando $g(x)$: $$0.5 + 0.5 \le \frac{1}{2} - \sin \left(\frac{\pi x}{6}\right) \le 1 + 0.5$$ $$1 \le g(x) \le 1.5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la función raíz cuadrada $\sqrt{u}$ es continua donde $u \ge 0$ y derivable donde $u \gt 0$.

Como hemos demostrado que para todo $x \in [7, 11]$ se cumple que $g(x) \ge 1$, el radicando es siempre estrictamente positivo. 1. **Continuidad:** La función $g(x) = \frac{1}{2} - \sin \frac{\pi x}{6}$ es continua en $\mathbb{R}$ por ser composición y suma de funciones elementales (polinómica y trigonométrica). Al ser $g(x) \ge 1 \gt 0$ en $[7, 11]$, la función $f(x) = \sqrt{g(x)}$ es **continua en $[7, 11]$**. 2. **Derivabilidad:** La función $f(x)$ es derivable siempre que $g(x) \gt 0$. Como $g(x) \ge 1$ en todo el intervalo, $f(x)$ es **derivable en $(7, 11)$**. La derivada es: $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2} - \sin \frac{\pi x}{6}}} \cdot \left(-\cos \frac{\pi x}{6} \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \frac{-\pi \cos \frac{\pi x}{6}}{12\sqrt{\frac{1}{2} - \sin \frac{\pi x}{6}}}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } [7, 11] \text{ y derivable en } (7, 11)}$$

**b) Comprueba que existe un valor $\alpha \in (7, 11)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (1,25 puntos)** Para demostrar la existencia de un punto con derivada nula, utilizaremos el **Teorema de Rolle**. **Teorema de Rolle:** Sea $f(x)$ una función que cumple: 1. Es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. Es derivable en el intervalo abierto $(a, b)$. 3. Los valores de la función en los extremos son iguales: $f(a) = f(b)$. Si se cumplen estas condiciones, entonces existe al menos un valor $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = 0$. 💡 **Tip:** El teorema de Rolle es un caso particular del Teorema del Valor Medio donde la pendiente de la secante es cero.

Ya hemos comprobado en el apartado anterior que $f(x)$ es continua en $[7, 11]$ y derivable en $(7, 11)$. Solo falta verificar si $f(7) = f(11)$: - Para $x = 7$: $$f(7) = \sqrt{\frac{1}{2} - \sin \frac{7\pi}{6}} = \sqrt{\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$$ - Para $x = 11$: $$f(11) = \sqrt{\frac{1}{2} - \sin \frac{11\pi}{6}} = \sqrt{\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$$ Como $f(7) = f(11) = 1$, se cumplen todas las hipótesis del Teorema de Rolle. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } \alpha \in (7, 11) \text{ tal que } f'(\alpha) = 0 \text{ por el Teorema de Rolle}}$$