Continuidad y Teorema de los Valores Intermedios

**a) Estudia la continuidad de la función en el intervalo $[1, 4]$. (0,75 puntos)** Para estudiar la continuidad de $f(x) = \frac{\cos [\frac{\pi}{2}(x - 1)]}{x^2 - 6x + 10}$, debemos analizar si existen puntos donde la función no esté definida. Al ser un cociente, el único problema posible es que el denominador se anule. Igualamos el denominador a cero: $$x^2 - 6x + 10 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{-4}}{2}$$ Como el discriminante es negativo ($\Delta = -4$), no existen soluciones reales. Esto significa que el denominador **nunca es cero** para ningún valor de $x \in \mathbb{R}$. Dado que tanto el numerador (función trigonométrica) como el denominador (polinomio) son funciones continuas en todo $\mathbb{R}$, y el denominador no se anula, la función $f(x)$ es continua en todo su dominio, que es $\mathbb{R}$. Por lo tanto, la función es continua en el intervalo cerrado $[1, 4]$. 💡 **Tip:** Una función racional es continua en todos los puntos donde su denominador es distinto de cero. Si el denominador es un polinomio sin raíces reales, la función es continua en toda la recta real. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } [1, 4] \text{ porque su denominador no tiene raíces reales.}}$$

**b) Comprueba que existen dos valores $\alpha$ y $\beta$ en el intervalo $(1, 4)$ tales que $f(\alpha) = -\frac{1}{2} = f(\beta)$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (1,75 puntos)** Para resolver este apartado utilizaremos el **Teorema de los Valores Intermedios (o de Darboux)**. **Teorema de los Valores Intermedios:** Si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y $k$ es cualquier número comprendido entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces existe al menos un número $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = k$. *Nota: También se podría usar el Teorema de Bolzano aplicándolo a la función auxiliar $g(x) = f(x) + 1/2$.* Justificación de su uso: 1. La función $f(x)$ es **continua** en $[1, 4]$ (demostrado en el apartado anterior). 2. El valor $k = -1/2$ debe estar comprendido entre los valores de la función en los extremos de los subintervalos que elijamos. 💡 **Tip:** El Teorema de los Valores Intermedios es una generalización del Teorema de Bolzano. Mientras Bolzano busca un cero, este teorema busca cualquier valor intermedio.

Para encontrar los intervalos donde se encuentran $\alpha$ y $\beta$, evaluamos la función en puntos estratégicos del intervalo $[1, 4]$: - Para $x = 1$: $$f(1) = \frac{\cos[\frac{\pi}{2}(1 - 1)]}{1^2 - 6(1) + 10} = \frac{\cos(0)}{5} = \frac{1}{5} = 0,2$$ - Para $x = 3$: $$f(3) = \frac{\cos[\frac{\pi}{2}(3 - 1)]}{3^2 - 6(3) + 10} = \frac{\cos(\pi)}{9 - 18 + 10} = \frac{-1}{1} = -1$$ - Para $x = 4$: $$f(4) = \frac{\cos[\frac{\pi}{2}(4 - 1)]}{4^2 - 6(4) + 10} = \frac{\cos(\frac{3\pi}{2})}{16 - 24 + 10} = \frac{0}{2} = 0$$ Observamos que el valor $-1/2$ se encuentra entre $f(1)$ y $f(3)$, y también entre $f(3)$ y $f(4)$.

Dividimos el intervalo $(1, 4)$ en dos partes para localizar $\alpha$ y $\beta$: 1. **Existencia de $\alpha$ en $(1, 3)$:** - $f(x)$ es continua en $[1, 3]$. - $f(3) = -1$ y $f(1) = 0,2$. - Como $-1 \lt -1/2 \lt 0,2$, por el Teorema de los Valores Intermedios, existe al menos un $\alpha \in (1, 3)$ tal que **$f(\alpha) = -1/2$**. 2. **Existencia de $\beta$ en $(3, 4)$:** - $f(x)$ es continua en $[3, 4]$. - $f(3) = -1$ y $f(4) = 0$. - Como $-1 \lt -1/2 \lt 0$, por el Teorema de los Valores Intermedios, existe al menos un $\beta \in (3, 4)$ tal que **$f(\beta) = -1/2$**. Como $(1, 3) \subset (1, 4)$ y $(3, 4) \subset (1, 4)$, y ambos intervalos son disjuntos, hemos demostrado que existen al menos dos valores distintos en $(1, 4)$ que cumplen la condición. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existen } \alpha \in (1, 3) \text{ y } \beta \in (3, 4) \text{ tales que } f(\alpha) = f(\beta) = -1/2}$$