Derivadas y evaluación en un punto

**a) $f(x) = \ln \left[ \cos (\pi x) \cdot e^{x^2+2x} \right]$ (1,25 puntos)** Para facilitar la derivación de $f(x)$, aplicamos primero las propiedades de los logaritmos: 1. $\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$ 2. $\ln(e^u) = u$ Reescribimos la función: $$f(x) = \ln(\cos(\pi x)) + \ln(e^{x^2+2x}) = \ln(\cos(\pi x)) + x^2 + 2x$$ Ahora derivamos término a término utilizando la regla de la cadena: - La derivada de $\ln(u)$ es $\dfrac{u'}{u}$. - La derivada de $\cos(\pi x)$ es $-\sin(\pi x) \cdot \pi$. $$f'(x) = \frac{-\pi \sin(\pi x)}{\cos(\pi x)} + 2x + 2$$ Simplificando la expresión usando la relación $\tan(z) = \dfrac{\sin(z)}{\cos(z)}$: $$f'(x) = -\pi \tan(\pi x) + 2x + 2$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas logaritmos de productos o potencias, simplifica antes de derivar; ahorrarás mucho tiempo y evitarás errores con la regla de la cadena. $$\boxed{f'(x) = -\pi \tan(\pi x) + 2x + 2}$$

Calculamos ahora los valores de la función y su derivada en el punto solicitado $x = 0$: **Valor de la función:** $$f(0) = \ln(\cos(0) \cdot e^0) = \ln(1 \cdot 1) = \ln(1) = 0$$ **Valor de la derivada:** $$f'(0) = -\pi \tan(0) + 2(0) + 2$$ Como $\tan(0) = 0$: $$f'(0) = 0 + 0 + 2 = 2$$ ✅ **Resultado para el apartado a):** $$\boxed{f'(x) = -\pi \tan(\pi x) + 2x + 2, \quad f(0) = 0, \quad f'(0) = 2}$$

**b) $g(x) = \arctan \sqrt{1 + 2x + e^{2x}}$ (1,25 puntos)** Para derivar $g(x)$, identificamos las funciones compuestas: 1. La función exterior es $\arctan(u)$, cuya derivada es $\dfrac{u'}{1+u^2}$. 2. La función intermedia es $u = \sqrt{v}$, con derivada $\dfrac{v'}{2\sqrt{v}}$. 3. La función interior es $v = 1 + 2x + e^{2x}$, con derivada $v' = 2 + 2e^{2x}$. Primero calculamos $u'$: $$u' = \frac{2 + 2e^{2x}}{2\sqrt{1 + 2x + e^{2x}}} = \frac{2(1 + e^{2x})}{2\sqrt{1 + 2x + e^{2x}}} = \frac{1 + e^{2x}}{\sqrt{1 + 2x + e^{2x}}}$$ Ahora aplicamos la fórmula del arcotangente: $$g'(x) = \frac{1}{1 + (\sqrt{1 + 2x + e^{2x}})^2} \cdot \frac{1 + e^{2x}}{\sqrt{1 + 2x + e^{2x}}}$$ $$g'(x) = \frac{1}{1 + 1 + 2x + e^{2x}} \cdot \frac{1 + e^{2x}}{\sqrt{1 + 2x + e^{2x}}}$$ $$g'(x) = \frac{1 + e^{2x}}{(2 + 2x + e^{2x})\sqrt{1 + 2x + e^{2x}}}$$ 💡 **Tip:** La derivada de $\arctan(f(x))$ es $\frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}$. Mantén la calma con las raíces y simplifica los coeficientes constantes siempre que sea posible. $$\boxed{g'(x) = \frac{1 + e^{2x}}{(2 + 2x + e^{2x})\sqrt{1 + 2x + e^{2x}}}} $$

Evaluamos la función y su derivada en $x = 0$: **Valor de la función:** $$g(0) = \arctan \sqrt{1 + 2(0) + e^0} = \arctan \sqrt{1 + 0 + 1} = \arctan \sqrt{2}$$ **Valor de la derivada:** $$g'(0) = \frac{1 + e^0}{(2 + 2(0) + e^0)\sqrt{1 + 2(0) + e^0}}$$ $$g'(0) = \frac{1 + 1}{(2 + 0 + 1)\sqrt{2}} = \frac{2}{3\sqrt{2}}$$ Racionalizando el resultado: $$g'(0) = \frac{2\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$ ✅ **Resultado para el apartado b):** $$\boxed{g'(x) = \frac{1 + e^{2x}}{(2 + 2x + e^{2x})\sqrt{1 + 2x + e^{2x}}}, \quad g(0) = \arctan\sqrt{2}, \quad g'(0) = \frac{\sqrt{2}}{3}}$$