Plano paralelo a dos rectas dadas distancias

Para trabajar con la recta $r$, que viene dada como intersección de dos planos, necesitamos obtener su vector director $\vec{v}_r$ y un punto $P_r$. El vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $$\vec{n}_1 = (2, -1, 2), \quad \vec{n}_2 = (5, 2, 2)$$ $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 2 \\ 5 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v}_r = [(-1) \cdot 2 - 2 \cdot 2]\vec{i} - [2 \cdot 2 - 2 \cdot 5]\vec{j} + [2 \cdot 2 - (-1) \cdot 5]\vec{k}$$ $$\vec{v}_r = -6\vec{i} - (-6)\vec{j} + 9\vec{k} = (-6, 6, 9)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por $3$: **$\vec{v}_r = (-2, 2, 3)$**. Para hallar un punto $P_r$, restamos las ecuaciones de los planos para eliminar $2z$: $$(5x + 2y + 2z - 2) - (2x - y + 2z + 7) = 0 \implies 3x + 3y - 9 = 0 \implies x + y = 3$$ Si hacemos $x = 0$, entonces $y = 3$. Sustituyendo en la primera ecuación de $r$: $$2(0) - 3 + 2z + 7 = 0 \implies 2z = -4 \implies z = -2$$ 💡 **Tip:** Un punto de una recta en implícitas se encuentra fijando una coordenada (por ejemplo $x=0$) y resolviendo el sistema resultante. $$\boxed{P_r(0, 3, -2), \quad \vec{v}_r = (-2, 2, 3)}$$

La recta $s$ está en forma continua, por lo que podemos extraer directamente sus elementos: - El punto $P_s$ se obtiene de los numeradores (cambiando el signo). - El vector director $\vec{v}_s$ se obtiene de los denominadores. $$s \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{0} = \frac{z - 5}{-1}$$ Por lo tanto: $$\boxed{P_s(1, -3, 5), \quad \vec{v}_s = (2, 0, -1)}$$

El plano $\pi$ debe ser paralelo a $r$ y $s$. Esto significa que su vector normal $\vec{n}_\pi$ debe ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas ($\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$). Calculamos $\vec{n}_\pi$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_\pi = [2 \cdot (-1) - 3 \cdot 0]\vec{i} - [(-2) \cdot (-1) - 3 \cdot 2]\vec{j} + [(-2) \cdot 0 - 2 \cdot 2]\vec{k}$$ $$\vec{n}_\pi = -2\vec{i} - (2 - 6)\vec{j} + (-4)\vec{k} = (-2, 4, -4)$$ Simplificamos el vector normal dividiendo por $-2$ para obtener una ecuación más sencilla: $$\vec{n}_\pi = (1, -2, 2)$$ La ecuación general del plano será de la forma: $$\pi \equiv x - 2y + 2z + D = 0$$ 💡 **Tip:** Si un plano es paralelo a dos rectas, su vector normal es el producto vectorial de los vectores directores de dichas rectas. $$\boxed{\pi \equiv x - 2y + 2z + D = 0}$$

La distancia de una recta paralela a un plano es la distancia de cualquier punto de la recta al plano. Usamos la fórmula: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ **1. Distancia de $r$ al plano $\pi$ es $3u$:** $$d(P_r, \pi) = \frac{|1(0) - 2(3) + 2(-2) + D|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = 3$$ $$\frac{|-6 - 4 + D|}{\sqrt{9}} = 3 \implies \frac{|D - 10|}{3} = 3 \implies |D - 10| = 9$$ Esto nos da dos posibilidades para $D$: - $D - 10 = 9 \implies D = 19$ - $D - 10 = -9 \implies D = 1$ **2. Distancia de $s$ al plano $\pi$ es $6u$:** $$d(P_s, \pi) = \frac{|1(1) - 2(-3) + 2(5) + D|}{3} = 6$$ $$\frac{|1 + 6 + 10 + D|}{3} = 6 \implies \frac{|D + 17|}{3} = 6 \implies |D + 17| = 18$$ Esto nos da otras dos posibilidades para $D$: - $D + 17 = 18 \implies D = 1$ - $D + 17 = -18 \implies D = -35$ El valor de $D$ que cumple ambas condiciones simultáneamente es **$D = 1$**.

Sustituyendo el valor $D = 1$ en la ecuación general del plano obtenida en el Paso 3: $$\pi \equiv 1x - 2y + 2z + 1 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x - 2y + 2z + 1 = 0}$$