Recta que pasa por un punto y corta a otras dos

**P3) Halla la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P(-3, -2, 3)$ y que corta a las rectas $r$ y $s$, siendo $r \equiv \begin{cases} x + y - z - 1 = 0 \\ x - y + 2z + 1 = 0 \end{cases}$ y $s \equiv \frac{x - 3}{-1} = \frac{y + 5}{2} = \frac{z + 3}{1}$.** Para hallar la recta $t$ pedida, utilizaremos el método de la intersección de dos planos: 1. Calcularemos un plano $\pi_1$ que contenga al punto $P$ y a la recta $r$. 2. Calcularemos un plano $\pi_2$ que contenga al punto $P$ y a la recta $s$. 3. La recta buscada $t$ será la intersección de ambos planos, ya que al estar en $\pi_1$ cortará a $r$ (si no son paralelas) y al estar en $\pi_2$ cortará a $s$. 💡 **Tip:** Una recta que pasa por un punto y corta a otras dos rectas siempre se puede obtener como la intersección de los dos planos formados por el punto y cada una de las rectas dadas.

Para definir el plano $\pi_1$, necesitamos un punto de $r$ y su vector director. La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Obtenemos su vector director $\vec{v}_r$ mediante el producto vectorial de los vectores normales: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}(2) + \vec{j}(-1) + \vec{k}(-1) - [\vec{k}(1) + \vec{i}(1) + \vec{j}(2)] = \vec{i} - 3\vec{j} - 2\vec{k}$$ $$\vec{v}_r = (1, -3, -2)$$ Buscamos un punto $A \in r$. Si hacemos $x = 0$ en el sistema de $r$: $$\begin{cases} y - z = 1 \\ -y + 2z = -1 \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $z = 0$. Entonces $y = 1$. El punto es $A(0, 1, 0)$. El plano $\pi_1$ pasa por $P(-3, -2, 3)$ y contiene a $r$ (punto $A$ y vector $\vec{v}_r$). Otro vector del plano es $\vec{PA} = A - P = (0 - (-3), 1 - (-2), 0 - 3) = (3, 3, -3)$, que simplificado es $(1, 1, -1)$. Ecuación de $\pi_1$: $$\begin{vmatrix} x + 3 & y + 2 & z - 3 \\ 1 & -3 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x+3)(3+2) - (y+2)(-1+2) + (z-3)(1+3) = 0$$ $$5(x+3) - 1(y+2) + 4(z-3) = 0 \implies 5x + 15 - y - 2 + 4z - 12 = 0$$ $$\pi_1 \equiv 5x - y + 4z + 1 = 0$$

La recta $s$ está en forma continua: $s \equiv \frac{x - 3}{-1} = \frac{y + 5}{2} = \frac{z + 3}{1}$. Extraemos un punto $B(3, -5, -3)$ y su vector director $\vec{v}_s = (-1, 2, 1)$. El plano $\pi_2$ pasa por $P(-3, -2, 3)$ y contiene a $s$. Un vector director del plano es $\vec{v}_s$ y otro es $\vec{PB} = B - P = (3 - (-3), -5 - (-2), -3 - 3) = (6, -3, -6)$, que simplificado es $(2, -1, -2)$. Ecuación de $\pi_2$: $$\begin{vmatrix} x + 3 & y + 2 & z - 3 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x+3)(-4+1) - (y+2)(2-2) + (z-3)(1-4) = 0$$ $$-3(x+3) + 0(y+2) - 3(z-3) = 0 \implies -3x - 9 - 3z + 9 = 0$$ $$\pi_2 \equiv x + z = 0$$ 💡 **Tip:** Al simplificar los vectores directores (como hemos hecho con $\vec{PA}$ y $\vec{PB}$), facilitamos los cálculos del determinante sin alterar el plano resultante.

La recta $t$ es la intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$: $$t \equiv \begin{cases} 5x - y + 4z + 1 = 0 \\ x + z = 0 \end{cases}$$ Para ponerla en forma continua, necesitamos su vector director $\vec{v}_t$: $$\vec{v}_t = \vec{n}_{\pi_1} \times \vec{n}_{\pi_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_t = \vec{i}(-1) - \vec{j}(5-4) + \vec{k}(0 - (-1)) = -\vec{i} - \vec{j} + \vec{k} = (-1, -1, 1)$$ Como la recta debe pasar por $P(-3, -2, 3)$, su ecuación continua es: $$\frac{x - (-3)}{-1} = \frac{y - (-2)}{-1} = \frac{z - 3}{1}$$ Simplificando los signos: $$\frac{x + 3}{-1} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z - 3}{1}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{x + 3}{-1} = \frac{y + 2}{-1} = z - 3}$$