Cálculo de parámetro para matriz no regular

Para resolver este ejercicio, debemos recordar la definición de matriz regular. Una matriz cuadrada $A$ es **regular** (es decir, tiene inversa) si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto, para que la matriz $A$ **no sea regular**, debemos imponer que su determinante sea igual a cero: $$|A| = 0$$ 💡 **Tip:** Una matriz no regular también se conoce como matriz **singular**. En estos casos, el rango de la matriz es inferior a su orden (en este caso, $rang(A) \lt 4$).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ de orden $4 \times 4$: $$|A| = \begin{vmatrix} -3 & 2 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 & a + 3 \\ -3 & 1 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$ Observamos que la segunda columna ya tiene dos ceros. Para facilitar el cálculo, vamos a conseguir un cero adicional en dicha columna aplicando la siguiente operación elemental entre filas: $R_1 \to R_1 - 2R_3$ $$|A| = \begin{vmatrix} -3 - 2(-3) & 2 - 2(1) & -1 - 2(2) & -1 - 2(2) \\ -2 & 0 & 1 & a + 3 \\ -3 & 1 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -5 & -5 \\ -2 & 0 & 1 & a + 3 \\ -3 & 1 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al sumar o restar a una fila/columna otra fila/columna multiplicada por un número, el valor del determinante **no varía**.

Ahora que la segunda columna tiene tres ceros, desarrollamos el determinante por los elementos de dicha columna (Teorema de Laplace): $$|A| = 1 \cdot (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 3 & -5 & -5 \\ -2 & 1 & a + 3 \\ -2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -5 & -5 \\ -2 & 1 & a + 3 \\ -2 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$ El exponente $(3+2)$ se debe a que el elemento $1$ ocupa la fila 3, columna 2.

Calculamos el determinante de orden 3 resultante: $$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -5 & -5 \\ -2 & 1 & a + 3 \\ -2 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$\Delta = [ (3 \cdot 1 \cdot 2) + (-5 \cdot (a+3) \cdot (-2)) + (-5 \cdot (-2) \cdot 2) ] - [ (-5 \cdot 1 \cdot (-2)) + ((a+3) \cdot 2 \cdot 3) + (-5 \cdot (-2) \cdot 2) ]$$ Operamos paso a paso: $$\Delta = [ 6 + 10(a+3) + 20 ] - [ 10 + 6(a+3) + 20 ]$$ $$\Delta = [ 26 + 10a + 30 ] - [ 30 + 6a + 18 ]$$ $$\Delta = (10a + 56) - (6a + 48)$$ $$\Delta = 4a + 8$$ Sustituyendo este valor en la expresión de $|A|$ del paso anterior: $$|A| = -1 \cdot (4a + 8) = -4a - 8$$

Para que la matriz no sea regular, igualamos el determinante a cero: $$-4a - 8 = 0$$ $$-4a = 8$$ $$a = \frac{8}{-4}$$ $$a = -2$$ Por tanto, si $a = -2$, el determinante es cero y la matriz $A$ no es regular. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -2}$$