Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros

**P1) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible.** En primer lugar, expresamos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A'$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 3a & a^2 & -2a^2 \\ -a & -1 & a^2-1 \end{pmatrix}; \quad A' = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & -2 & 1 \\ 3a & a^2 & -2a^2 & 3 \\ -a & -1 & a^2-1 & a + \sqrt{3} - 1 \end{array}\right)$$ Para estudiar el sistema, aplicaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que permite determinar la compatibilidad del sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes ($A$) y el de la matriz ampliada ($A'$).

Calculamos el determinante de $A$ para hallar los valores críticos de $a$ que anulan el rango de la matriz: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & -2 \\ 3a & a^2 & -2a^2 \\ -a & -1 & a^2-1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus o desarrollamos por filas/columnas. En este caso, sumamos la fila 1 a la fila 3 ($F_3 \to F_3 + F_1$) para simplificar: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & -2 \\ 3a & a^2 & -2a^2 \\ 0 & 0 & a^2-3 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila: $$|A| = (a^2-3) \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 3a & a^2 \end{vmatrix} = (a^2-3) \cdot (a^3 - 3a) = (a^2-3) \cdot a(a^2-3) = a(a^2-3)^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$a(a^2-3)^2 = 0 \implies a = 0, \quad a = \sqrt{3}, \quad a = -\sqrt{3}$$ 💡 **Tip:** Simplificar mediante operaciones elementales entre filas antes de calcular un determinante facilita enormemente el cálculo y la factorización posterior.

Analizamos los rangos de $A$ y $A'$ para los distintos valores de $a$: **Caso 1: $a \neq 0, a \neq \sqrt{3}, a \neq -\sqrt{3}$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rang}(A) = 3$. Como el rango no puede superar el número de columnas, $\text{rang}(A') = 3$ también. Al ser $\text{rang}(A) = \text{rang}(A') = 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $a = 0$** $$A' = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & \sqrt{3}-1 \end{array}\right)$$ En la segunda fila tenemos la ecuación $0 = 3$, lo cual es imposible. Por tanto, $\text{rang}(A)=2$ y $\text{rang}(A')=3$. El sistema es **Incompatible (SI)**. **Caso 3: $a = \sqrt{3}$** $$A' = \left(\begin{array}{ccc|c} \sqrt{3} & 1 & -2 & 1 \\ 3\sqrt{3} & 3 & -6 & 3 \\ -\sqrt{3} & -1 & 2 & 2\sqrt{3}-1 \end{array}\right)$$ Observamos que la fila 2 es el triple de la fila 1 ($F_2 = 3F_1$). Sin embargo, en la fila 3, los coeficientes de las incógnitas son el opuesto de la fila 1, pero el término independiente no: $-\sqrt{3} \neq 2\sqrt{3}-1$. Por tanto, $\text{rang}(A)=1$ y $\text{rang}(A')=2$. El sistema es **Incompatible (SI)**. **Caso 4: $a = -\sqrt{3}$** $$A' = \left(\begin{array}{ccc|c} -\sqrt{3} & 1 & -2 & 1 \\ -3\sqrt{3} & 3 & -6 & 3 \\ \sqrt{3} & -1 & 2 & -1 \end{array}\right)$$ Aquí, $F_2 = 3F_1$ y $F_3 = -F_1$. Todas las filas son proporcionales. $\text{rang}(A) = \text{rang}(A') = 1 < 3$. El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**.

Resolvemos el sistema para el caso general. Retomamos las ecuaciones simplificadas del paso 2 (usando $F_3 + F_1$): 1. $ax + y - 2z = 1$ 2. $3ax + a^2y - 2a^2z = 3$ 3. $(a^2-3)z = a + \sqrt{3}$ De la ecuación 3: $$z = \frac{a+\sqrt{3}}{a^2-3} = \frac{a+\sqrt{3}}{(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})} = \frac{1}{a-\sqrt{3}}$$ Sustituimos $z$ en la ecuación 1: $$ax + y = 1 + 2z = 1 + \frac{2}{a-\sqrt{3}} = \frac{a-\sqrt{3}+2}{a-\sqrt{3}}$$ Sustituimos $z$ en la ecuación 2: $$3ax + a^2y = 3 + 2a^2z = 3 + \frac{2a^2}{a-\sqrt{3}} = \frac{3a-3\sqrt{3}+2a^2}{a-\sqrt{3}}$$ Multiplicamos la primera por $a^2$ y la segunda por $1$ para eliminar $y$ (o usamos sustitución). Tras operar obtenemos: $$y = \frac{2}{a-\sqrt{3}}, \quad x = \frac{1}{a}$$ ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{x = \frac{1}{a}, \quad y = \frac{2}{a-\sqrt{3}}, \quad z = \frac{1}{a-\sqrt{3}}}$$

Para $a = -\sqrt{3}$, el sistema se reduce a una sola ecuación lineal (ya que las otras son proporcionales): $$-\sqrt{3}x + y - 2z = 1$$ Como tenemos 1 ecuación y 3 incógnitas, necesitamos 2 parámetros. Sea $x = \lambda$ y $z = \mu$, con $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$: $$y = 1 + \sqrt{3}\lambda + 2\mu$$ ✅ **Resultado (SCI):** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, 1 + \sqrt{3}\lambda + 2\mu, \mu) \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$

El resultado teórico empleado es el **Teorema de Rouché-Frobenius**. **Justificación:** Este teorema es la herramienta fundamental para clasificar sistemas de ecuaciones lineales. Establece que un sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada. Además, distingue entre sistemas determinados (rango igual al número de incógnitas) e indeterminados (rango menor al número de incógnitas).