Distribución binomial y aproximación por la normal

**a) ($0.75$ puntos) Calcular la probabilidad de que exactamente $3$ de ellos necesitaran más de un intento para superar el examen práctico de conducir.** En primer lugar, identificamos que estamos ante una distribución binomial. Tenemos un número fijo de ensayos independientes ($n=10$) y dos resultados posibles: aprobar a la primera o no. Definimos la variable aleatoria: $X$: número de universitarios que necesitaron más de un intento. Si el $65\%$ aprueba a la primera, la probabilidad de "éxito" (necesitar más de un intento) es: $p = 1 - 0.65 = 0.35$ $q = 1 - p = 0.65$ Por tanto, $X \sim B(10; 0.35)$. 💡 **Tip:** La fórmula de la probabilidad puntual en una binomial es $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Aplicamos la fórmula para $k = 3$: $$P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0.35^3 \cdot 0.65^7$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$$ Sustituimos los valores: $$P(X = 3) = 120 \cdot 0.042875 \cdot 0.049022 \approx 0.2522$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 3) \approx 0.2522}$$

**b) ($0.75$ puntos) Calcular la probabilidad de que alguno de ellos haya necesitado más de un intento para superar el examen práctico de conducir.** El suceso "alguno" significa $P(X \ge 1)$. Es mucho más directo calcularlo a través del suceso contrario: $$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$$ Calculamos $P(X = 0)$: $$P(X = 0) = \binom{10}{0} \cdot 0.35^0 \cdot 0.65^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0.65^{10} \approx 0.0135$$ Ahora restamos de la unidad: $$P(X \ge 1) = 1 - 0.0135 = 0.9865$$ 💡 **Tip:** En probabilidad, la palabra "alguno" o "al menos uno" suele ser una señal clara para utilizar el suceso complementario $1 - P(X=0)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 1) \approx 0.9865}$$

**c) ($1$ punto) Aproximando por una distribución normal, determinar la probabilidad de que, dados $60$ de estos universitarios, como mínimo la mitad superase el examen práctico de conducir a la primera.** Cambiamos el enfoque. Ahora estudiamos a los que aprueban a la primera: $n = 60$ $p = 0.65$ (probabilidad de aprobar a la primera) $Y$: número de estudiantes que aprueban a la primera. $Y \sim B(60; 0.65)$. Comprobamos si se cumplen las condiciones para aproximar por una normal $N(\mu, \sigma)$: 1. $n \cdot p = 60 \cdot 0.65 = 39 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 60 \cdot 0.35 = 21 \gt 5$ La aproximación es válida. Calculamos los parámetros: $\mu = n \cdot p = 39$ $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{60 \cdot 0.65 \cdot 0.35} = \sqrt{13.65} \approx 3.6946$ Por tanto, $Y$ se puede aproximar por una $Y' \sim N(39; 3.6946)$.

Queremos calcular la probabilidad de que como mínimo la mitad ($30$ de $60$) aprueben a la primera, es decir, $P(Y \ge 30)$. Al pasar de una variable discreta a una continua, aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**: $$P(Y \ge 30) \approx P(Y' \ge 29.5)$$ Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la Normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{Y' - \mu}{\sigma}$: $$P\left(Z \ge \frac{29.5 - 39}{3.6946}\right) = P\left(Z \ge \frac{-9.5}{3.6946}\right) \approx P(Z \ge -2.571)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al aproximar una Binomial (discreta) por una Normal (continua), el valor $k$ en $P(X \ge k)$ se convierte en $k - 0.5$.

Utilizamos las propiedades de simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \ge -2.57) = P(Z \le 2.57)$$ Buscamos el valor en la tabla de la distribución $N(0, 1)$ para $2.5$ en la columna y $0.07$ en la fila: $$P(Z \le 2.57) = 0.9949$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Y \ge 30) \approx 0.9949}$$ La probabilidad de que al menos la mitad apruebe a la primera es del $99.49\%$.