Geometría en el espacio: proyecciones y posiciones relativas

Para resolver el ejercicio, primero identificamos los vectores directores y puntos de los elementos dados. El plano $\pi : x + 3y + 2z + 14 = 0$ tiene como vector normal: $$\vec{n}_\pi = (1, 3, 2)$$ La recta $r \equiv \begin{cases} x = 2 \\ z = 5 \end{cases}$ puede escribirse en paramétricas haciendo $y = \lambda$: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 \\ y = \lambda \\ z = 5 \end{cases} \implies \vec{v}_r = (0, 1, 0)$$ El eje $OZ$ es la recta que pasa por el origen $O(0, 0, 0)$ con dirección del vector unitario $\vec{k}$: $$OZ \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = \mu \end{cases} \implies P_{OZ}(0, 0, 0), \quad \vec{v}_{OZ} = (0, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector normal de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es siempre $(A, B, C)$.

**a) (0,5 puntos) Hallar el punto del plano $\pi$ más próximo al origen de coordenadas.** El punto del plano más próximo al origen $O(0,0,0)$ es la proyección ortogonal del origen sobre el plano. Para hallarlo, construiremos una recta $n$ que pase por $O$ y sea perpendicular a $\pi$. La dirección de la recta $n$ será el vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (1, 3, 2)$: $$n \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 3\lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}$$ El punto buscado $Q$ es la intersección de $n$ y $\pi$. Sustituimos las expresiones de la recta en la ecuación del plano: $$(\lambda) + 3(3\lambda) + 2(2\lambda) + 14 = 0$$ $$\lambda + 9\lambda + 4\lambda + 14 = 0 \implies 14\lambda = -14 \implies \lambda = -1$$ Sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones de $n$ para obtener $Q$: $$x = -1, \quad y = 3(-1) = -3, \quad z = 2(-1) = -2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q(-1, -3, -2)}$$

**b) (1 punto) Calcular la proyección ortogonal del eje $OZ$ sobre el plano $\pi$.** La proyección ortogonal de una recta sobre un plano es la intersección de dicho plano $\pi$ con un plano auxiliar $\sigma$ que contiene a la recta y es perpendicular a $\pi$. 1. Buscamos el vector normal de $\sigma$ (perpendicular a $\vec{v}_{OZ}$ y a $\vec{n}_\pi$): $$\vec{n}_\sigma = \vec{v}_{OZ} \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{n}_\sigma = (0 \cdot 2 - 1 \cdot 3)\vec{i} - (0 \cdot 2 - 1 \cdot 1)\vec{j} + (0 \cdot 3 - 0 \cdot 1)\vec{k} = -3\vec{i} + 1\vec{j} + 0\vec{k} = (-3, 1, 0)$$ 2. Como el eje $OZ$ pasa por $(0,0,0)$, el plano $\sigma$ es: $$-3(x-0) + 1(y-0) + 0(z-0) = 0 \implies -3x + y = 0 \implies y = 3x$$ 3. La proyección $s$ es la intersección de $\pi$ y $\sigma$: $$s \equiv \begin{cases} x + 3y + 2z + 14 = 0 \\ y = 3x \end{cases}$$ Parametrizamos haciendo $x = t$: $$y = 3t$$ $$t + 3(3t) + 2z + 14 = 0 \implies 10t + 2z + 14 = 0 \implies z = -5t - 7$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{s \equiv \begin{cases} x = t \\ y = 3t \\ z = -7 - 5t \end{cases}}$$

**c) (1 punto) Hallar la recta con dirección perpendicular a $r$, que esté contenida en $\pi$, y que corte al eje $OZ$.** Sea $t$ la recta buscada. Debe cumplir tres condiciones: 1. $t \perp r \implies \vec{v}_t \perp \vec{v}_r$ 2. $t \subset \pi \implies \vec{v}_t \perp \vec{n}_\pi$ 3. $t$ corta al eje $OZ$. De las condiciones 1 y 2 deducimos que $\vec{v}_t$ es paralelo al producto vectorial de $\vec{v}_r$ y $\vec{n}_\pi$: $$\vec{v}_t = \vec{n}_\pi \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0-2)\vec{i} - (0-0)\vec{j} + (1-0)\vec{k} = (-2, 0, 1)$$ Como $t \subset \pi$ y $t$ corta al eje $OZ$, el punto de intersección $P$ debe ser el punto donde el eje $OZ$ corta al plano $\pi$. Calculamos $P = OZ \cap \pi$: $$OZ \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} \implies (0) + 3(0) + 2z + 14 = 0 \implies 2z = -14 \implies z = -7$$ El punto es $P(0, 0, -7)$. La recta $t$ pasa por $P$ con dirección $\vec{v}_t$: $$t \equiv \begin{cases} x = -2\lambda \\ y = 0 \\ z = -7 + \lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t \equiv \frac{x}{-2} = \frac{y}{0} = \frac{z+7}{1}}$$