Estudio de derivabilidad y área entre curvas

**a) (1 punto) Estudiar la derivabilidad de $h(x) = |f(x)|$.** La función $h(x) = |2 + 2x - 2x^2|$ cambiará su definición en los puntos donde $f(x)$ cambie de signo. Para ello, resolvemos $f(x) = 0$: $$-2x^2 + 2x + 2 = 0 \implies x^2 - x - 1 = 0$$ Usamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ Llamaremos a estas raíces $x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618$ y $x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$. Como $f(x)$ es una parábola cóncava hacia abajo (coeficiente de $x^2$ negativo), es positiva entre las raíces y negativa fuera de ellas. Así, definimos $h(x)$ a trozos: $$h(x)=\begin{cases} -(2 + 2x - 2x^2) & \text{si } x < \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \\ 2 + 2x - 2x^2 & \text{si } \frac{1-\sqrt{5}}{2} \le x \le \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \\ -(2 + 2x - 2x^2) & \text{si } x > \frac{1+\sqrt{5}}{2}. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El valor absoluto $|A|$ es $A$ si $A \ge 0$ y $-A$ si $A < 0$.

Antes de estudiar la derivabilidad, debemos analizar la continuidad. La función $f(x) = 2 + 2x - 2x^2$ es un polinomio, por lo que es continua en todo $\mathbb{R}$. Puesto que la función valor absoluto de una función continua es también continua, $h(x) = |f(x)|$ es **continua en todo $\mathbb{R}$**. Especialmente, en los puntos de salto entre ramas $x_1$ y $x_2$, se cumple que $f(x_1) = f(x_2) = 0$, por lo que el límite por la izquierda, por la derecha y el valor de la función coinciden ($0$ en ambos casos). ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{h(x) \text{ es continua en } \mathbb{R}}$$

Calculamos la derivada de $h(x)$ en los intervalos abiertos: $$h'(x)=\begin{cases} -2 + 4x & \text{si } x < \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \\ 2 - 4x & \text{si } \frac{1-\sqrt{5}}{2} < x < \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \\ -2 + 4x & \text{si } x > \frac{1+\sqrt{5}}{2}. \end{cases}$$ Analizamos los puntos críticos de cambio de rama: 1. **En $x_1 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$:** - Derivada por la izquierda: $h'(x_1^-) = -2 + 4\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) = -2 + 2 - 2\sqrt{5} = -2\sqrt{5}$ - Derivada por la derecha: $h'(x_1^+) = 2 - 4\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) = 2 - 2 + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ Como $h'(x_1^-) \neq h'(x_1^+)$, la función **no es derivable en $x_1$**. 2. **En $x_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$:** - Derivada por la izquierda: $h'(x_2^-) = 2 - 4\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) = 2 - 2 - 2\sqrt{5} = -2\sqrt{5}$ - Derivada por la derecha: $h'(x_2^+) = -2 + 4\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) = -2 + 2 + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ Como $h'(x_2^-) \neq h'(x_2^+)$, la función **no es derivable en $x_2$**. 💡 **Tip:** En las raíces simples de una función $f$, $|f|$ siempre presenta un punto anguloso si $f'(root) \neq 0$. ✅ **Solución apartado a):** $$\boxed{h(x) \text{ es derivable en } \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \right\}}$$

**b) (1.5 puntos) Hallar el área de la región acotada por las curvas $y = f(x)$, $y = g(x)$, $x = 0$ y $x = 2$.** Primero buscamos los puntos de intersección entre las dos curvas igualando $f(x) = g(x)$: $$2 + 2x - 2x^2 = 2 - 6x + 4x^2 + 2x^3$$ $$2x^3 + 6x^2 - 8x = 0$$ Factorizamos sacando factor común $2x$: $$2x(x^2 + 3x - 4) = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2 + 3x - 4 = 0$: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \implies x = 1, x = -4.$$ Los puntos de corte son $x = -4$, $x = 0$ y $x = 1$. En el intervalo de estudio $[0, 2]$, las funciones se cruzan en **$x = 0$** y **$x = 1$**. Por tanto, debemos dividir el área en dos recintos: $[0, 1]$ y $[1, 2]$.

Definimos la diferencia de funciones $d(x) = f(x) - g(x) = -2x^3 - 6x^2 + 8x$. - En el intervalo $(0, 1)$: Tomamos $x = 0.5$. $d(0.5) = -2(0.125) - 6(0.25) + 8(0.5) = -0.25 - 1.5 + 4 = 2.25 > 0$. Por tanto, $f(x) \gt g(x)$. - En el intervalo $(1, 2)$: Tomamos $x = 1.5$. $d(1.5) = -2(3.375) - 6(2.25) + 8(1.5) = -6.75 - 13.5 + 12 = -8.25 < 0$. Por tanto, $g(x) \gt f(x)$. El área total es: $$A = \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx + \int_{1}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas siempre es la integral del valor absoluto de su diferencia, lo que equivale a la integral de (Función superior - Función inferior).

Calculamos la primitiva de $d(x) = -2x^3 - 6x^2 + 8x$: $$\int (-2x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = -\frac{2x^4}{4} - \frac{6x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} = -\frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 4x^2$$ **Primer recinto ($A_1$):** $$A_1 = \int_{0}^{1} (-2x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = \left[ -\frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 4x^2 \right]_{0}^{1}$$ $$A_1 = \left( -\frac{1}{2}(1)^4 - 2(1)^3 + 4(1)^2 \right) - (0) = -0.5 - 2 + 4 = 1.5 \text{ u}^2$$ **Segundo recinto ($A_2$):** $$A_2 = \int_{1}^{2} (2x^3 + 6x^2 - 8x) \, dx = \left[ \frac{1}{2}x^4 + 2x^3 - 4x^2 \right]_{1}^{2}$$ $$A_2 = \left( \frac{1}{2}(2)^4 + 2(2)^3 - 4(2)^2 \right) - \left( \frac{1}{2}(1)^4 + 2(1)^3 - 4(1)^2 \right)$$ $$A_2 = (8 + 16 - 16) - (0.5 + 2 - 4) = 8 - (-1.5) = 9.5 \text{ u}^2$$ **Área Total:** $$A = A_1 + A_2 = 1.5 + 9.5 = 11 \text{ u}^2$$ ✅ **Solución apartado b):** $$\boxed{\text{Área} = 11 \text{ unidades cuadradas}}$$