Sistema de ecuaciones con parámetros

**a) (1.25 puntos) Discutirlo en función del parámetro $k$.** Para discutir el sistema, representamos las ecuaciones en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & k \\ k & -1 & -1 \\ 0 & -1 & k-1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & k & 1 \\ k & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & k-1 & 3 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El teorema de Rouché-Frobenius nos dice que la compatibilidad del sistema depende de si el rango de la matriz de coeficientes ($A$) coincide con el de la matriz ampliada ($A^*$). - Si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = n$ (nº incógnitas): **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. - Si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) < n$: **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. - Si $\text{rang}(A) \neq \text{rang}(A^*)$: **Sistema Incompatible (SI)**.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo (3): $$|A| = \begin{vmatrix} -2 & 1 & k \\ k & -1 & -1 \\ 0 & -1 & k-1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = [(-2) \cdot (-1) \cdot (k-1) + 1 \cdot (-1) \cdot 0 + k \cdot k \cdot (-1)] - [0 \cdot (-1) \cdot k + (-1) \cdot (-1) \cdot (-2) + (k-1) \cdot k \cdot 1]$$ $$|A| = [2(k-1) + 0 - k^2] - [0 - 2 + k^2 - k]$$ $$|A| = 2k - 2 - k^2 + 2 - k^2 + k = -2k^2 + 3k$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-2k^2 + 3k = 0 \implies k(-2k + 3) = 0$$ Las raíces son **$k = 0$** y **$k = 3/2$**.

Analizamos los casos según el valor de $k$: 1. **Caso $k \neq 0$ y $k \neq 3/2$**: Como $|A| \neq 0$, entonces $\text{rang}(A) = 3$. Como el rango máximo de la ampliada también es 3 y coincide con el número de incógnitas: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3 \implies \mathbf{SCD}$$ 2. **Caso $k = 0$**: $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 3 \end{array}\right)$. El rango de $A$ es 2 (por ejemplo, $\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$). Sin embargo, si miramos la 2ª y 3ª ecuación: $-y - z = 0$ y $-y - z = 3$, lo cual es imposible. $$\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3 \implies \mathbf{SI}$$ 3. **Caso $k = 3/2$**: $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & 3/2 & 1 \\ 3/2 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1/2 & 3 \end{array}\right)$. Sabemos $\text{rang}(A) = 2$. Calculamos el rango de $A^*$ comprobando el determinante de las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1.5 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 6 + 0 - 1.5 - (0 + 0 + 4.5) = 4.5 - 4.5 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3 \implies \mathbf{SCI}$$ ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} k \neq 0, 3/2: \text{SCD} \\ k = 0: \text{SI} \\ k = 3/2: \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) (0.5 puntos) Resolverlo para $k = 3$.** Para $k = 3$, el sistema es compatible determinado. Sustituimos $k$: $$\begin{cases} -2x + y + 3z = 1 \\ 3x - y - z = 0 \\ -y + 2z = 3 \end{cases}$$ De la tercera ecuación: $y = 2z - 3$. Sustituimos en la segunda: $$3x - (2z - 3) - z = 0 \implies 3x - 3z + 3 = 0 \implies x - z + 1 = 0 \implies x = z - 1$$ Sustituimos $x$ e $y$ en la primera ecuación: $$-2(z - 1) + (2z - 3) + 3z = 1$$ $$-2z + 2 + 2z - 3 + 3z = 1 \implies 3z - 1 = 1 \implies 3z = 2 \implies z = 2/3$$ Calculamos las demás variables: $$x = 2/3 - 1 = -1/3$$ $$y = 2(2/3) - 3 = 4/3 - 9/3 = -5/3$$ ✅ **Resultado (Solución para k=3):** $$\boxed{(x, y, z) = \left(-\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right)}$$

**c) (0.75 puntos) Resolverlo para $k = 3/2$ y especificar, si es posible, una solución particular con $x = 2$.** Para $k = 3/2$, el sistema es SCI. Usamos las dos últimas ecuaciones para resolver en función de $z$: $$\begin{cases} 1.5x - y - z = 0 \\ -y + 0.5z = 3 \end{cases}$$ Sea $z = \lambda$. De la segunda ecuación: $y = 0.5\lambda - 3$. Sustituimos en la primera: $$1.5x - (0.5\lambda - 3) - \lambda = 0 \implies 1.5x - 1.5\lambda + 3 = 0 \implies x = \lambda - 2$$ La solución general es: $(x, y, z) = (\lambda - 2, 0.5\lambda - 3, \lambda)$. Buscamos la solución particular para **$x = 2$**: $$2 = \lambda - 2 \implies \lambda = 4$$ Calculamos $y$ y $z$: $$z = 4$$ $$y = 0.5(4) - 3 = 2 - 3 = -1$$ ✅ **Resultado (Solución particular):** $$\boxed{(x, y, z) = (2, -1, 4)}$$