Cálculo de probabilidades y probabilidad condicionada

**a) (1.5 puntos) $P(B)$ y $P(A \cap B)$.** Empezamos utilizando la definición de probabilidad condicionada para expresar la intersección $P(A \cap B)$ en función de $P(B)$. Sabemos que: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Sustituyendo el valor conocido $P(A|B) = 0.625$: $$0.625 = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \implies P(A \cap B) = 0.625 \cdot P(B)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad condicionada $P(A|B)$ mide la probabilidad de que ocurra $A$ dado que ya ha ocurrido $B$.

Utilizamos la fórmula fundamental de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos ($P(A) = 0.5$, $P(A \cup B) = 0.65$) y la expresión hallada en el paso anterior ($P(A \cap B) = 0.625 \cdot P(B)$): $$0.65 = 0.5 + P(B) - 0.625 \cdot P(B)$$ Agrupamos los términos con $P(B)$ y resolvemos la ecuación: $$0.65 - 0.5 = P(B) \cdot (1 - 0.625)$$ $$0.15 = 0.375 \cdot P(B)$$ $$P(B) = \frac{0.15}{0.375} = 0.4$$ ✅ **Resultado para P(B):** $$\boxed{P(B) = 0.4}$$

Una vez hallado $P(B)$, recuperamos la expresión del primer paso para calcular la probabilidad de la intersección: $$P(A \cap B) = 0.625 \cdot P(B)$$ $$P(A \cap B) = 0.625 \cdot 0.4 = 0.25$$ 💡 **Tip:** Siempre es buena idea comprobar que $P(A \cap B) \le P(A)$ y $P(A \cap B) \le P(B)$. En este caso, $0.25 \le 0.5$ y $0.25 \le 0.4$, lo cual es coherente. ✅ **Resultado para P(A ∩ B):** $$\boxed{P(A \cap B) = 0.25}$$

**b) (1 punto) $P(A|A \cup B)$ y $P(A \cap B|A \cup B)$.** Aplicamos la definición de probabilidad condicionada para el primer término: $$P(A | A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}$$ En teoría de conjuntos, sabemos que $A \subset (A \cup B)$, por lo tanto, la intersección de un conjunto con su unión con otro es simplemente el conjunto original: $$A \cap (A \cup B) = A$$ Sustituimos los valores: $$P(A | A \cup B) = \frac{P(A)}{P(A \cup B)} = \frac{0.5}{0.65} = \frac{50}{65} = \frac{10}{13} \approx 0.7692$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A | A \cup B) = \frac{10}{13} \approx 0.7692}$$

Para el segundo término, procedemos de forma análoga: $$P(A \cap B | A \cup B) = \frac{P((A \cap B) \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}$$ Dado que el suceso intersección está contenido en el suceso unión, $(A \cap B) \subset (A \cup B)$, su intersección es el suceso más pequeño: $$(A \cap B) \cap (A \cup B) = A \cap B$$ Sustituimos los valores calculados anteriormente: $$P(A \cap B | A \cup B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)} = \frac{0.25}{0.65} = \frac{25}{65} = \frac{5}{13} \approx 0.3846$$ 💡 **Tip:** Fíjate que al condicionar sobre el mismo espacio muestral reducido ($A \cup B$), estas probabilidades mantienen la proporción original de los sucesos numeradores. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap B | A \cup B) = \frac{5}{13} \approx 0.3846}$$