Geometría en el espacio: Rectas, planos y proyecciones

**a) Verifique que los puntos $P$ y $Q$ pertenecen al plano $\pi$ (0.25 puntos)** El plano $\pi$ está definido por la ecuación $z = 1$. Esto significa que cualquier punto que pertenezca a este plano debe tener su coordenada $z$ igual a 1. * Para el punto **$P(1, 1, 1)$**, su coordenada $z$ es 1. Por lo tanto, $P$ satisface la ecuación del plano y **$P \in \pi$**. * Para el punto **$Q(0, 0, 1)$**, su coordenada $z$ es 1. Por lo tanto, $Q$ satisface la ecuación del plano y **$Q \in \pi$**. 💡 **Tip:** Para comprobar si un punto pertenece a un plano, simplemente sustituye sus coordenadas $(x, y, z)$ en la ecuación del plano y verifica si se cumple la igualdad. $$\boxed{P, Q \in \pi: z = 1}$$

**b) Halle una recta paralela a $r$ contenida en el plano $z = 0$ (1 punto)** Primero, necesitamos determinar la dirección de la recta $r$. Dado que $r$ pasa por los puntos $P(1, 1, 1)$ y $Q(0, 0, 1)$, su vector director $\vec{v}_r$ es el vector que une ambos puntos: $$\vec{v}_r = \vec{QP} = P - Q = (1-0, 1-0, 1-1) = (1, 1, 0)$$ Como la nueva recta (llamémosla $s'$) debe ser paralela a $r$, su vector director $\vec{v}_{s'}$ debe ser el mismo o uno proporcional. Tomamos: $$\vec{v}_{s'} = (1, 1, 0)$$ $$\boxed{\vec{v}_r = (1, 1, 0)}$$

Para que la recta $s'$ esté contenida en el plano $z = 0$, todos sus puntos deben tener la componente $z=0$. 1. **Punto de paso:** Elegimos cualquier punto con $z=0$, por ejemplo, el origen $A(0, 0, 0)$. 2. **Vector director:** Ya tenemos $\vec{v}_{s'} = (1, 1, 0)$. Observamos que la componente $z$ del vector es $0$, lo que garantiza que la recta no "sale" del plano horizontal. La ecuación paramétrica de la recta es: $$s': \begin{cases} x = 0 + 1\lambda \\ y = 0 + 1\lambda \\ z = 0 + 0\lambda \end{cases} \implies \begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Una recta está contenida en un plano si el punto de la recta pertenece al plano y el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano (en este caso, $(1,1,0) \cdot (0,0,1) = 0$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{s': \begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = 0 \end{cases}, \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) Halle una recta que pase por $P$ y tal que su proyección ortogonal sobre el plano $\pi$ sea la recta $r$, con la cual forme un ángulo de $\frac{\pi}{4}$ radianes (1.25 puntos)** Sea $s$ la recta buscada con vector director $\vec{v}_s = (a, b, c)$. La proyección ortogonal de una recta sobre el plano $\pi: z=1$ (que es paralelo al plano $XY$) se obtiene proyectando su vector director sobre el plano horizontal. El vector proyectado de $\vec{v}_s = (a, b, c)$ es $\vec{v}_{proy} = (a, b, 0)$. Para que la proyección de $s$ coincida con la recta $r$, su vector proyectado debe ser paralelo a $\vec{v}_r = (1, 1, 0)$. Esto implica que $a = b$. Por simplicidad, tomamos **$a = 1$ y $b = 1$**. Así, el vector director de $s$ es de la forma: $$\vec{v}_s = (1, 1, c)$$

El ángulo entre la recta $s$ y su proyección $r$ es el ángulo entre sus vectores directores $\vec{v}_s = (1, 1, c)$ y $\vec{v}_r = (1, 1, 0)$. Nos indican que este ángulo es $\theta = \frac{\pi}{4}$. Usamos la fórmula del coseno: $$\cos \theta = \frac{|\vec{v}_s \cdot \vec{v}_r|}{|\vec{v}_s| \cdot |\vec{v}_r|}$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{|(1, 1, c) \cdot (1, 1, 0)|}{\sqrt{1^2+1^2+c^2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+0^2}}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{2+c^2} \cdot \sqrt{2}}$$ Multiplicando en cruz: $$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2+c^2} = 4 \implies 2 \sqrt{2+c^2} = 4 \implies \sqrt{2+c^2} = 2$$ Elevando al cuadrado: $$2 + c^2 = 4 \implies c^2 = 2 \implies c = \pm\sqrt{2}$$ 💡 **Tip:** El ángulo que forma una recta con un plano es el complementario del que forma con el vector normal del plano, o bien, el ángulo que forma la recta con su propia proyección sobre dicho plano.

Tomamos, por ejemplo, $c = \sqrt{2}$. La recta $s$ pasa por el punto $P(1, 1, 1)$ y tiene como vector director $\vec{v}_s = (1, 1, \sqrt{2})$. Su ecuación paramétrica es: $$s: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 1 + \sqrt{2}\lambda \end{cases}$$ Si hubiéramos tomado $c = -\sqrt{2}$, obtendríamos otra recta válida que también cumple las condiciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{s: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 1 + \sqrt{2}\lambda \end{cases} , \lambda \in \mathbb{R}}$$